Задача 27189 [m] \frac{log_{2x-1}^{2}(9x^{2}-12x+4) -...

u579168178

5 июля 2018 г. в 00:00

[m]
\frac{log_{2x-1}^{2}(9x^{2}-12x+4) - 10log_{2x-1}(3x-2)+18}{3log_{2x-1}(6x^{2}-7x+2)-2} \leq 2.
[/m]

SOVA

5 августа 2018 г. в 00:00

9x²–12x+4=(3x–2)²
6x²–7x+2=(2x–1)·(3x–2)
ОДЗ:
{2x –1 > 0 ⇒ x > 1/2
{2x – 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 1
{9x² – 12x + 4 > 0 ⇒ x ≠ 2/3
{3x – 2 > 0 ⇒ x > 2/3
{6x² – 7x + 2 > 0 ⇒ (2x–1)(3x–2) > 0 ⇒x < 1/2 или x > 2/3

ОДЗ: х ∈ (2/3;1) U (1; +∞)
В условиях ОДЗ
log_2x–1(9x²–12х+4)=log_2x–1(3x–2)²=2log_2x–1|3x–2|=
=2log_2x–1(3x–2)
log_2x–1(6x²–7x+2)=log_2x–1(2x–1)·(3x–2)=
=log_2x–1(2x–1)+log_2x–1(3x–2)=1+log_2x–1(3x–2)

Замена переменной
log_2x–1(3–2x)=t

((2·t)²–10t+18)/(3·(1+t)–2) ≤ 2;

(4t²–16t+16)/(3t+1) ≤ 0;

4(t–2)²/(3t+1) ≤ 0

__–__ (–1/3) ___+__ [2] _____

t < – 1/3 или t=2

log_2x–1(3x–2) < – 1 ⇒ (применяем метод рационализации в условиях ОДЗ) (2x – 1 – 1)(3x–2 –(1/(2x–1))) < 0 ⇒

(x–1)·(6x²–7x+1)/(2x–1) < 0

(x–1)²·(6x–1)/(2x–1) < 0
__+_ (1/6) _–__1/2 __+__ (1) _+__

1/6 < x < 1/2 – не удовлетворяет ОДЗ

ИЛИ

log_2x–1(3x–2)=2

(3х–2)=(2х–1)²

3х–2 = 4x²–4x+1

4x²–7x +3 =0

D = (–7)²–4·4·3=1

x=3/4 или х=1 ( не входит в ОДЗ)

О т в е т. х=3/4