Задача 16218 а) Решите уравнение...

slava191

6 февраля 2017 г. в 00:00

а) Решите уравнение 4^sinx+4^sin(π+x)=5/2

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]

SOVA

6 февраля 2017 г. в 00:00

★

По формулам приведения
sinx(π+x)=–sinx

Замена переменной
4^sinx=t;
4^–sinx=1/t

Уравнение
(t+(1/t))=5/2
или
2t²–5t+2=0
t≠0
D=(–5)²–4·2·2=25–16=9
t=(5–3)/4=1/2 или t=(5+3)/4=2
4^sinx=1/2 или 4^sinx=2
2^2sinx=2^–1 или 2^2sinx=2
sinx=–1/2 или sinx=1/2
x1=(–π/6)+2πk, k∈Z или x3=(π/6)+2πk, k∈Z
х2=(–5π/6)+2πk, k∈Z или х4=(5π/6)+2πk, k∈Z
Можно объединить так:
х=±(π/6)+2πk, k∈Z или х=±(5π/6)+2πn, n∈Z

Указанному промежутку принадлежат корни
(5π/6)+2π=17π/6
(–5π/6)+4π=19π/6
(–π/6)+4π=23π/6
О т в е т.
а)
±(π/6)+2πk, ±(5π/6)+2πn, k, n∈Z
б)17π/6; 19π/6; 23π/6