Задача 16218 а) Решите уравнение...
Условие
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5Pi/2; 4Pi]
Решение
sinx(π+x)=-sinx
Замена переменной
4^(sinx)=t;
4^(-sinx)=1/t
Уравнение
(t+(1/t))=5/2
или
2t^2-5t+2=0
t≠0
D=(-5)^2-4*2*2=25-16=9
t=(5-3)/4=1/2 или t=(5+3)/4=2
4^(sinx)=1/2 или 4^(sinx)=2
2^(2sinx)=2^(-1) или 2^(2sinx)=2
sinx=-1/2 или sinx=1/2
x1=(-π/6)+2πk, k∈Z или x3=(π/6)+2πk, k∈Z
х2=(-5π/6)+2πk, k∈Z или х4=(5π/6)+2πk, k∈Z
Можно объединить так:
х=±(π/6)+2πk, k∈Z или х=±(5π/6)+2πn, n∈Z
Указанному промежутку принадлежат корни
(5π/6)+2π=17π/6
(-5π/6)+4π=19π/6
(-π/6)+4π=23π/6
О т в е т.
а)
±(π/6)+2πk, ±(5π/6)+2πn, k, n∈Z
б)17π/6; 19π/6; 23π/6 