Задача 28092 9.26. Найдите высоту, биссектрису и...

slava191

29.05.2018

9.26. Найдите высоту, биссектрису и медиану, проведенные из вершины одного угла тре­угольника, если они делят этот угол на четыре равные части, а радиус описанной около треугольника окружности равен R .

SOVA

29.05.2018

★

Обозначим каждый из углов альфа.

Биссектриса СЕ расположена между высотой СН и медианой СМ.

Продолжим биссектрису СЕ до пересечения с окружностью в точке F

∠ ACF=2 альфа
∠ CFB=2 альфа
Вписанные углы измеряются половиной дуги на которую опираются.
Значит ∪ AF= ∪ FB
Значит и хорды, стягивающие равные дуги равны.
AF=FB
Треугольник АFB - равнобедренный.
FM - медиана, а значит и высота.
FM ⊥ AB

СH ⊥ AB

FM||CH

∠ CFM= ∠ HCE= альфа

Треугольник СMF - равнобедренный ( ∠ CFM= ∠ MСЕ),
MC=MF
Значит точка M - равноудалена от точек С и F
M - центр описанной окружности.
M=O

АВ- диаметр
АВ=2R
AM=R
∠ АСВ=90 градусов, значит 4альфа=Pi/2, альфа =Pi/8

Треугольник АМЕ - равнобедренный
∠АСМ=3Pi/8
∠CAM=∠АСМ=3Pi/8

В прямоугольном треугольнике АВС сумма острых углов равна 90 градусов или PI/2,
∠CАВ=∠САМ=3Pi/8
Значит ∠CВAM=Pi/8

АС=АВ*sin(Pi/8)=2R*sin(Pi/8)
BC=AB*cos(Pi/8)=2R*cos(Pi/8)

S( Δ ABC)=(1/2)AB*CH и с другой стороны S( Δ ABC)=(1/2)АС*ВС
(1/2)AB*CH = (1/2)АС*ВС
СН=АС*ВС/АВ=2Rsin(Pi/8)*cos(Pi/8)=Rsin(Pi/4)=Rsqrt(2)/2
[b] высота СН=Rsqrt(2)/2 [/b]
Из треугольника СНЕ:
СЕ=СН/cos(Pi/8)=Rsqrt(2)/(2cos(Pi/8))
[b] биссектриса СЕ=Rsqrt(2)/(2cos(Pi/8)) [/b]
[b] медиана CМ=R[/b]



О т в е т. Rsqrt(2)/2;R*sqrt(2)/(2cos(Pi/8));R