Задача 26561 Проверить, что данное дифференциальное...

u9532158254

19.04.2018

Проверить, что данное дифференциальное выражение есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) и затем найти u:

SOVA

20.04.2018

P(x;y)=y^2e^(xy)-3
Q(x;y)=e^(xy)*(1+xy)

P`_(y)=2y*e^(xy)+y^2*e^(xy)*(xy)`_(y)=e^(xy)*(2y+xy^2)
Q`_(x)=e^(xy)*(xy)`_(x)*(1+xy)+e^(xy)*(1+xy)`_(x)=
=e^(xy)*(y+xy^2+y)=e^(xy)*(2y+xy^2)

P`_(x)=Q`_(y)

является дифференциалом некоторой функции u(x;y)

du=(y^2e^(xy)-3)dx+(e^(xy)*(1+xy))dy
u`_(x)=P(x;y) и u`_(y)=Q(x;y)

u(x;y)=∫u`_(x)dx=∫P(x;y)dx= ∫ (y^2e^(xy)-3)dx=y* ∫ e^(xy)d(xy) - ∫ 3dx=y*e^(xy)-3x+C(y) ⇒

u`_(y)=(y*e^(xy)-3x+C(y))`_(y)=

=e^(xy)+y*e^(xy)*(xy)`_(x)+C`(y)=

=e^(xy)*(1+xy)+C`(y)

Сравниваем с Q(x;y)=u`_(y) получаем, что С`(y)=0 и значит
С(y)=c ( c= const)

О т в е т. u(x;y) = y*e^(xy)-3x+с