Задача 43903 ...

brightestkitty

2020-02-02 19:03:15

Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды = α, а сторона основания = а. Найти радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

sova

2020-02-02 20:43:32

★

АВСD- квадрат
АВ=ВС=СD=AD=a

АС=BD=asqrt(2)

NA=NB=NC=ND ⇒

Δ ANB= ΔBNC=ΔCND= ΔAND - равнобедренные

∠ АNB= ∠ BNC= ∠ CND= ∠ AND= α


NA=NB=NC=ND =[m]\frac{a}{2sin\frac{\alpha }{2}}[/m]

Δ АNF - равнобедренный
АF=NF=R

FK ⊥ AN

FK- медиана и биссектриса.

AK=KN=NA/2

Из подобия прямоугольных треугольников NKF и NOA
NK:NO=[b]NF[/b]:NA ⇒ [b]R[/b]=NF=NK*NA/NO=[b]NA^2/(2NO)[/b]

NO=H_(пирамиды)
NO^2=NA^2-AO^2=[m](\frac{a}{2sin\frac{\alpha }{2}})^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=\frac{a^2(1-2sin^2\frac{\alpha}{2})}{4}[/m]

NO=[m]\frac{a\sqrt{1-2sin^2\frac{\alpha }{2}}}{2}[/m]

R=[m]\frac{a}{4sin^2\frac{\alpha }{2}\cdot\sqrt{1-2sin^2\frac{\alpha }{2}}}[/m]- о т в е т.