Задача 30378 высота правильной треугольной пирамиды ...

lollipolli

2018-10-20 11:50:06

высота правильной треугольной пирамиды 2sqrt(3). Узнать объем пирамиды, если угол у вершины пирамиды 60 градусов.

sova

2018-10-20 12:28:15

★

Угол у вершины пирамиды 60 °означает, что боковые треугольники такие же как и треугольник в основании- равносторонние.
Т.е. пирамида - тетраэдр.

Пусть сторона основания равна a.
В равностороннем треугольнике со стороной а:
высота AM=asqrt(3)/2; S = a^2sqrt(3)/4; R=asqrt(3)/3; r=a/(2sqrt(3))

SM=AM=sqrt(3)/2
OM- радиус вписанной окружности,
OM=a/(2sqrt(3))
По теореме Пифагора:
SO^2=SM^2-OM^2=(asqrt(3)/2)^2-(a/(2sqrt(3))^2)=

=(3/4)a^2-(1/12)a^2=(8/12)a^2=(2/3)a^2

SO=a*sqrt(2/3)
По условию SO=2sqrt(3)

a*sqrt(2/3)=2sqrt(3)
а=3sqrt(2)

V=(1/3)S(осн)*H= (1/3)*(a^2sqrt(3)/4)*2sqrt(3)=9