Задача 30074 ...

vk69069066

2018-10-08 23:26:04

Для каждого натурального n, не являющегося точным квадратом, вычисляются все значения переменной x, для которых оба числа x+sqrt(n) и x^3+1228√n являются целыми. Найдите общее количество таких значений x.

sova

2018-10-09 13:13:36

По условию
[b] оба числа x+√n и x^3+1228√n являются целыми [/b]

Значит, их сумма - целое число

x+sqrt(n)+x^3+1228sqrt(n)=(x^3+x)+1229*sqrt(n) - целое

x*(x^2+1)+1229sqrt(n) - целое.
1229 - число простое

⇒

x^2+1 = 1229
x^2=1228
Только
x=-sqrt(1228)
удовлетворяет условию задачи

ИЛИ

разность этих чисел - целое число

x^3+1228sqrt(n)-х- sqrt(n)=(x^3-x)+1227*sqrt(n) - целое

x*(x^2-1)+1227sqrt(n) - целое.
1227 - число простое

⇒

x^2-1 = 1227
x^2=1228
Только
x=-sqrt(1228)
удовлетворяет условию задачи

n=1228 - натуральное

О т в е т. Одно число х=-sqrt(1228)