Задача 23751 ...
Условие
по дисциплине «Математика»
по теме: «Исследование функции с помощью производной построение графика функции»
Исследовать функцию и построить её график.
Вариант 1. а) y = x³ — 6x + 1; б) y = x / (x² — 1)
Вариант 2. а) y = x³ — 3x + 1; б) y = (x + 2) / (x² — 1)
Вариант 3. а) y = (1/3)x³ — 2x² + 1; б) y = x³ / (x² — 1)
Исследование функции выполнить по схеме:
1) Найти область определения функции.
2) Определить четность (нечетность) функции.
3) Найти промежутки монотонности функции и точки экстремумов.
4) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.
5) Определить асимптоты.
6) Найти дополнительные точки.
Решение
D(y)=(– ∞ ;+ ∞ )
Функция не является ни четной, ни нечетной
f(–x)=–x3+6x+1
f(–x) ≠ f(x)
f(–x) ≠ –f(x)
y`=3x2–6
y`=0
3x2–6=0
3(x2–2)=0
x2–2=0
x=–√2 или х=√2
_+__ (–√2) __–__ (√2) ____+__
На (– ∞;– √2) и на (√2; + ∞)
производная положительна, функция возрастает.
На (–√2;√2) производная отрицательна, функция убывает.
x=–√2 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
y(–√2)=4√2+1
х=√2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(√2)=–4√2+1
y``=6x
При x < 0 вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх, при х > 0 вторая производная положительна, функция выпукла вниз
Асимптот нет.
limx ∞ = ∞
Cм. график и на нем дополнительные точки
2)
D(y)=(– ∞ ;+ ∞ )
Функция не является ни четной, ни нечетной
f(–x)=–x3+3x+1
f(–x) ≠ f(x)
f(–x) ≠ –f(x)
y`=3x2–3
y`=0
3x2–3=0
3(x2–1)=0
x2–1=0
x=–1 или х=1
_+__ (–1) __–__ (1) ____+__
На (– ∞;– 1) и на (1; + ∞)
производная положительна, функция возрастает.
На (–1;1) производная отрицательна, функция убывает.
x=–1 – точка максимума, производная меняет знак с + на –y(–1)=3
х=1 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(1)=–1
y``=6x
При x < 0 вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх, при х > 0 вторая производная положительна, функция выпукла вниз
Асимптот нет.
limx ∞ = ∞
Cм. график и на нем дополнительные точки
3)D(y)=(– ∞ ;+ ∞ )
Функция не является ни четной, ни нечетной
f(–x)=–(1/3)·x3–2x2+1
f(–x) ≠ f(x)
f(–x) ≠ –f(x)
y`=x2–4x
y`=0
x2–4x=0
x(x–4)=0
x=0 или х=4
_+__ (0) __–__ (4) ____+__
На (– ∞;0) и на (0; + ∞)
производная положительна, функция возрастает.
На (–0;4) производная отрицательна, функция убывает.
x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –
y(0)=0
х=4 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(4)=–29/3
y``=2x
При x < 0 вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх, при х > 0 вторая производная положительна, функция выпукла вниз
Асимптот нет.
limx ∞ = ∞
Cм. график и на нем дополнительные точки
4)
D(y)=(– ∞;–1)U(–1;1)U(1:+ ∞ )
x=–1 и х=1 – вертикальные асимптоты,
limx ± 1=∞
Функция не является ни четной, ни нечетной
f(–x)=(–x+2)/(x2–1)
f(–x) ≠ f(x)
f(–x) ≠ –f(x)
y`=((x+2)`·(x2–1)–(x2–1)`·(x+1))/((x2–1))2
y`=(–x2–2x–1)/(x2–1)2
y`=–(x+1)2/(x2–1)2
y`=0
x=–1
Производная отрицательна, функция убывает.
При x < 0 вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх, при х > 0 вторая производная положительна, функция выпукла вниз
Горизонтальная асимптота y=0
limx ∞ =0
Cм. график и на нем дополнительные точки
