Задача 36142 Найти объем тела, ограниченного...

vk502898628

2019-04-21 11:51:02

Найти объем тела, ограниченного канонической поверхностью:
(y-3)^2=x^2/2+z^2/3 и плоскостью y=1

sova

2019-04-21 19:52:28

★

y-3=sqrt(x^2/2)+z^2/3)

y=sqrt((x^2/2)+(z^2/3))+3 - уравнение конической поверхности.


При y=1 получаем уравнение линии пересечения

(1–3)^2=(x^2/2)+(z^2/3)

(x^2/2)+(z^2/3)=4

Делим на 4

[b](x^2/8)+(z^2/12)=1[/b] - эллипс

Область D на плоскости xOz ограничена эллипсом
(x^2/8)+(z^2/12)=1

V= ∫ ∫ _(D)(1)^2 (1 - sqrt(x^2/2)+(z^2/3))-3)dxdz=

Переходим к обобщенным полярным координатам
x=sqrt(8)rcos φ
y=sqrt(12)rsin φ
| якобиана|=πsqrt(8)*sqrt(12)drd φ

1 - sqrt(x^2/2)+(z^2/3))-3 =-2 - sqrt(4r^2)= [b]-2-2r[/b]

0< φ < 2π

= ∫ ^(2π)_(0)d φ ∫^(1) _(0)(-2-2r)πsqrt(8)*sqrt(12)dr =