Задача 42909 10. Найти экстремумы функции...

annarudnik

19 декабря 2019 г. в 22:55

10. Найти экстремумы функции y=(x+2)²(x–1) точки перегиба, ее график и построить эскиз графика.

11. Провести полное исследование функции y = (x–1)²/(x²+1) и построить ее график

sova

20 декабря 2019 г. в 00:07

★

1.D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

Функция не является ни четной, ни нечетной
lim_{x→ +∞}f(x)=+∞

lim_x→–∞f(x)= –∞

горизонтальной асимптоты нет


y`=((x+2)<sup>2</sup>)`·(x–1)+(x+2)²·(x–1)`
y`=2(x+2)·(x–1)+(x+2)²·1
y`=(x+2)·(2x–2+x+2)
y`=3x(x+2)

y`=0

x=0; x=–2

_+__ (–2) __–_ (0) _+__

y`< 0 при x∈ (–2;0)
Функция убывает при x∈ (–2;0)

y`>0 при x∈(–∞;–2) и при х∈ (0;+∞)
Функция возрастает при x∈(–∞;–2) и при х∈ (0;+∞)

x=0– точка минимума, производная меняет знак с – на +
у(0)=–4 – наименьшее значение функции

x=–2 – точка максимума
y(–2)=0 – наибольшее значение функции

y``=(3x<sup>2</sup>+6x)`=6x+6
y``=0
x=–1– точка перегиба

y`` <0 на ( – ∞ ;–1) ⇒
Функция выпукла вверх на ( – ∞ ;–1)

y`` > 0 на
Функция выпукла вниз на (–1;+ ∞)
2.
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция не является ни четной, ни нечетной
у(–х)=(–х–1)²/((–x)²+1)=(х+1)²/(x²+1)
y(–x) ≠ y(x)
y(–x) ≠– y(x)
3)lim_{x→ +∞}f(x)=lim_{x→ +∞}(х–1)²/(x²+1)=1

lim_x→–∞f(x)=lim_{x→ –∞}(х–1)²/(x²+1)=1

y=1 – горизонтальная асимптота

Наклонной асимптоты нет, так как
k=limx→∞(f(x))/x=0

4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
(x–1)²/(x²+1)=0
(x–1)²=0
x–1=0
x=1

(1;0)–точка пересечения с осью Ох.

C осью Оу
х=0 ⇒ у=(–1)²/1=1

(0;1)–точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=((x–1)<sup>2</sup>)`·(x²+1)–(x²+1)`·(x–1)<sup>2</sup>)/(x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup>;
y`=(2(x–1)·(x²+1)–2х·(x–1)²)/(x²+1)²;

y`=2(х–1)(х+1)/(x<sup>2</sup>+1)
y`=0
x–1=0 или x+1=0
x=1 или x=–1

Знак производной

__ + __ (–1) _–_ (1) ___+__

y`< 0 при x∈ (–1;1)
Функция убывает при x∈ (–1;1)

y`>0 при x∈(–∞;–1) и при х∈ (1;+∞)
Функция возрастает при x∈(–∞;–1) и при х∈ (1;+∞)


x=1– точка минимума, производная меняет знак с – на +
у(1)=0 – наименьшее значение функции

x=–1 – точка максимума
y(–1)=2 – наибольшее значение функции


6)y``=(2(x²–1)`·(x<sup>2</sup>+1)–2(x<sup>2</sup>–1)(x<sup>2</sup>+1)`)/(x²+1)²


y``=(2x·(–x<sup>2</sup>+3)/(x<sup>2</sup>+1)<sup>2</sup>
y``=0

x=0; x=± √3 –точки перегиба,

вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (– ∞ ; – √3 ) и на (0;√3)

выпукла вверх на ( – √3;0 ) и на (√3 ;+ ∞ )