1.Найдите неопределенные интегралы:
а) ∫▒(2/√х- (4√(3&x^2 ))/х)dx ; б)∫▒xdx/(〖sin〗^2 (x^2 ) ̇ )
2.Найдите определенные интегралы:
а)∫_(√5)^(2√2)▒xdx/√(3x^2+1); б)∫_0^(π/6)▒〖e^sinx cosxdx 〗
=2 ∫1dx/(x*sqrt(x))- 4∫ x^(2/3)dx/x=
=2 ∫ x^(-3/2)dx - 4 ∫ x^(-1/3)dx=
=2*x^((-3/2)+1)/((-3/2)+1) - 4*x^((-1/3)+1)/((-1/3)+1)+C=
=-4/sqrt(x^3) - 6* ∛(x^2) + C
б)
Замена
x^2=u
du=(x^2)`dx
du=2xdx
xdx=du/2
получаем
∫ (du/2)/sin^2u=(1/2)(-ctgu)+C=(-1/2)ctg(x^2)+C
2a)
u=3x^2+1
du=6xdx
xdx=(1/6)du
Меняем пределы
х=2sqrt(2)
u=3*(2sqrt(2))^2+1=25
x=sqrt(5)
u=3*(sqrt(5))^2+1=16
получаем
∫ ^(25)_(16)(1/6)du/sqrt(u)=(1/6)*(2sqrt(u))|^(25)_(16)=
=(1/3)*(5-4)=(1/3)
2б)
u=sinx
su=cosxdx
x=0
u=sin0=0
x=(π/6)
u=sin(π/6)=(1/2)
получаем
∫ ^(1/2)_(0)e^(u)du=e^(u)|^(1/2)_(0)=e^(1/2)-e^(0)=sqrt(e)-1