Задача 38477 Решить диф уравнение : X+Y-2+(1-X)Y'=0...

vk208090544

2019-07-02 20:05:00

Решить диф уравнение :
X+Y-2+(1-X)Y'=0

sova

2019-07-02 22:43:07

Линейное уравнение первого порядка.

y`+(1/(1-x))*y=(2-x)/(1-x)

y=u*v
y`=u`*v+u*v`


u`*v+u*v`+(1/(1-x))*u*v=(2-x)/(1-x)

u`*v+u*(v`+(1/(1-x))*v)=(2-x)/(1-x)

{v`+(1/(1-x))*v=0⇒ dv/v=dx/(x-1) ⇒ ∫ dv/v= ∫ dx/(x-1) ⇒ln|v|=ln|x-1|
{u`*v=(2-x)/(1-x) ⇒u`*(x-1)=(2-x)/(1-x)

⇒ u= ∫ (x-2)dx/(x-1)^2= ∫ (x-1)dx/(x-1)^2- ∫dx/(x-1)^2=

= ∫ (dx/(x-1)- ∫dx/(x-1)^2=ln|x-1|+ 1/(x-1) + C


y=u*v=(ln(x-1)+ 1/(x-1) + C)*(x-1)=(x-1)ln(x-1)+C*(x-1) + 1 - о т в е т.