Задача 38477 Решить диф уравнение : X+Y-2+(1-X)Y'=0...

vk208090544

2 июля 2019 г. в 20:05

Решить диф уравнение :
X+Y–2+(1–X)Y'=0

sova

2 июля 2019 г. в 22:43

Линейное уравнение первого порядка.

y`+(1/(1–x))·y=(2–x)/(1–x)

y=u·v
y`=u`·v+u·v`


u`·v+u·v`+(1/(1–x))·u·v=(2–x)/(1–x)

u`·v+u·(v`+(1/(1–x))·v)=(2–x)/(1–x)

{v`+(1/(1–x))·v=0⇒ dv/v=dx/(x–1) ⇒ ∫ dv/v= ∫ dx/(x–1) ⇒ln|v|=ln|x–1|
{u`·v=(2–x)/(1–x) ⇒u`·(x–1)=(2–x)/(1–x)

⇒ u= ∫ (x–2)dx/(x–1)²= ∫ (x–1)dx/(x–1)²– ∫dx/(x–1)²=

= ∫ (dx/(x–1)– ∫dx/(x–1)²=ln|x–1|+ 1/(x–1) + C


y=u·v=(ln(x–1)+ 1/(x–1) + C)·(x–1)=(x–1)ln(x–1)+C·(x–1) + 1 – о т в е т.