Задача 33655 Через диагональ грани куба построить...
Условие
Решение
S (грани)=a2
Проведем сечение через диагональ BD.
BD=a√2 – диагональ квадрата со стороной а
Scечения=(1/2)·BD·h
(1/2)BD·h=a2
(1/2)·a√2·h=a2
h=a√2
Значит, ОК=h=a√2
Наибольшее значение, которое может принимать ОК
это положение OC1
OC1=√ОC2+CC21=√(a√2/2)2+a2=a√3/2 < a√2
Значит, точка К расположена за точкой С1
СK=a√2=2·OC
В этом случае в сечении трапеция и ее площадь меньше площади
треугольника BDK
ВЫВОД:
Значит, через диагональ грани можно провести сечение, равновеликое площади грани.
При этом высота треугольника BDK должна быть больше a√2
OC > a√2
Основное решение:
В сечении равнобедренная трапеция.
Нижнее основание трапеции диагональ BD=a√2
Верхнее основание трапеции равно (a·√2)·k
k– коэффициент подобия
Sтрапеции=(1/2)·(a√2+(a√2)·k)Hтрапеции
Sтрапеции=Sквадрата=a2
(1/2)a·√2·(1+k)·H=a2
(1+k)·H=a√2 (#)
По теореме Пифагора
H2=a2+((1/2)a√2–(1/2)a√2·k)2
H2=a2+(a2/2)·(1–k)2
Возводим равенство (#) в квадрат и подставляем H2
(1+k)2·(a2+(a2/2)·(1–k)2)=2a2
(1+k)2·(2a2+a2–2a2k+a2k2)=4a2
(1+2k+k2)·(3–2k+k2)=4
4k4+4k–1=0
Найдем k
k≈ 1/4
