Задача 52461 ...

laviosa

15 июня 2020 г. в 15:22

9. Сумма числового ряда равна ...

[m] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+3)(n+4)} [/m]

○ 3/4

○ –1/4

○ 1/12

○ 1/4

sova

15 июня 2020 г. в 18:34

Находим n–ую частичную сумму ряда:

[m]S_{n}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{(k+3)(k+4)}=\sum_{1}^{n}\frac{1}{k+3}-\sum_{1}^{n}\frac{1}{k+4}=[/m]

[m]=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}[/m]

По определению сумма ряда
S=lim_{n → ∞} S_n=[m]\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}[/m]