Задача 36495 ...

goldenp77

2019-04-27 22:41:49

(x^2+x)lg(x^2+2x-2)/|x-1| ≥ lg(-x^2 -2x+2)^2/(x-1)

sova

2019-04-28 11:10:22

ОДЗ:
{ [b]x^2+2x-2[/b]>0 ⇒ D=12; x_(1)=-1-sqrt(3);x_(2)=-1+sqrt(3)
{(-x^2-2x+2)^2>0 ⇒ -x^2-2x+2≠0 ⇒ [b]x^2+2x-2 [/b]≠ 0
{x-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

x ∈ (- ∞ ; -1-sqrt(3))U(-1+sqrt(3);1) U(1;+ ∞)

Так как
(-x^2+2x-2)^2=(-(x^2-2x+2))^2=(x^2-2x+2)^2

lg(x^2-2x+2)^2=2lg|x^2-2x+2| = (В условиях ОДЗ)=2lg(x^2-2x+2)

Раскрываем [b]модуль в знаменателе[/b]:

[b]1) если х-1 >0[/b] ⇒ |x-1|=x-1
Неравенство принимает вид:

[b](x^2+x)lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 2lg(x^2+2x-2)/(x-1)[/b]

(x^2+x-2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 0
x^2+x-2=(x+2)(x-1)

x-1 ≠ 0

(x+2)*lg(x^2+2x-2) ≥ 0 ⇒

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{lg(x^2+2x-2) ≥ 0..или.......... {lg(x^2+2x-2) ≤ 0

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{x^2+2x-2 ≥ 1......или.......... {x^2+2x-2 ≤ 1

{x+2 ≥ 0 .............. или......... {x+2 ≤ 0
{x^2+2x-3 ≥0........или.......... {x^2+2x-3 ≤ 0

D=4+12=16; корни (-3) и 1

[b]x ∈ [1;+ ∞ )[/b] ....... или...... х ∈[b] [-3;-2][/b] - не удовл условию x ≥1

2) если x-1 < 0 ⇒ |x-1|= - (x-1)

Неравенство принимает вид:

[b] - (x^2+x)lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 2lg(x^2+2x-2)/(x-1)[/b]

(-x^2-x-2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≥ 0

(x^2+x+2)*lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≤ 0

x^2+x+2 > 0 при любом х, так как D=1-4*2<0

lg(x^2+2x-2)/(x-1) ≤ 0⇒

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{lg(x^2+2x-2) ≥ 0..или.......... {lg(x^2+2x-2) ≤ 0

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{x^2+2x-2 ≥ 1......или.......... {x^2+2x-2 ≤ 1

{x-1 < 0 .............. или......... {x-1 > 0
{x^2+2x-3 ≥0........или.......... {x^2+2x-3 ≤ 0

D=4+12=16; корни (-3) и 1

[b]x ∈ (- ∞;-3] ....... или...... х ∈∅ [/b]

Ответ первого и второго случаев (- ∞;-3] U [1;+ ∞ )

С учетом ОДЗ (- ∞;-3]U(1;+ ∞ )


О т в е т. [b](- ∞;-3]U(1;+ ∞ )[/b]