Задача 37920 Найти интеграл ...

vk168562092

2019-06-04 09:33:19

Найти интеграл

sova

2019-06-04 11:38:34

На [1;2] х >0, значит корень четвертой степени из х +1 и подавно больше 0.
Никакого модуля нет, есть круглые скобки.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Первый интеграл
∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx/2=(1/2) ∫ ^(2)_(1)x^(1/2)dx=(1/2)*x^(3/2)/(3/2)|^(2)_(1)=

=(1/3)*2^(3/2)-(1/3)*1^(3/2)= [b](2sqrt(2)-1)/3[/b]

Второй интеграл

∫ ^(2)_(1)x^(1/4)dx= x^(5/4)(5/4)|^(2)_(1)= (4/5)*(2^(5/4)-1^(5/4))=[b]
=(4/5)*(4sqrt(2)-1)[/b]

Третий интеграл

∫ ^(2)_(1) ln |x^(1/4)+1|dx= ∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx=

считаем по частям

Сначала замена переменной:

x^(1/4)=t
x=t^4
dx=4t^3dt

∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx= ∫ ^(16)_(1) ln (t+1)4t^3dt=

=4 ∫ ^(16)_(1)t^3ln(t+1)dx

u=ln(t+1)
du=dt/(t+1)

dv=t^3dt
v=(t^4/4)


=4*(t^4/4)*ln(t+1)|^(16)_(1)- 4∫^(16)_(1)(t^4/4)8(dt/(t+1)=

=t^4*ln(t+1) - ∫ ^(16)_(1)t^4dt/(t+1)=


Последний интеграл от дроби. Дробь неправильная. Надо выделить целую часть.

Сделаем это так:

t^4/(t+1)= (t^4-1+1)/(t+1)=(t^2-1)(t^2+1)/(t+1) + (1/(t+1))=

=(t-1)(t^2+1) + (1/(t+1))=

= [b]t^3-t^2+t-1 + (1/(t+1))[/b]

∫ ^(16)_(1)t^4dt/(t+1)= ∫ ^(16)_(1)(t^3-t^2+t-1 + (1/(t+1)))dt=

=((t^4/4) - (t^3/3)+(t^2/2) - t + ln |t+1|)|^(16)_(1)


Итак,

4* ∫^(2)_(1)(x^(1/4))^2/2 + x^(1/4) + ln | x^(1/4)+1|)dx=

=4* ∫ ^(2)_(1)sqrt(x)dx/2 + 4 * ∫ ^(2)_(1)x^(1/4)dx + 4 * ∫ ^(2)_(1) ln (x^(1/4)+1)dx=

=4*(1/2)*x^(3/2)/(3/2)|^(2)_(1)+ 4* (4/5)*(2^(5/4)-1^(5/4)) + 4 * (t^4*ln(t+1)|^(16)_(1) - ((t^4/4) - (t^3/3)+(t^2/2) - t + ln |t+1|)|^(16)_(1)=

= подставляем пределы и считаем самостоятельно