Составляем характеристическое уравнение:
k^2-3k-4=0
D=9+16=25
k_(1)=-1; k_(2)=4 - корни действительные различные,
поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид:
y_(общее одн)=C_(1)e^(-1*x)+C_(2)e^(4*x) - общее решение однородного уравнения
Частное решение:
Так как y(0)=1,
то
1=C_(1)e^(-1*0)+C_(2)e^(4*0) ⇒[b]1=C_(1)+C_(2) [/b]
Так как y ` (0)=-2
находим y`
y`=(C_(1)e^(-1*x)+C_(2)e^(4*x))`=C_(1)*(e^(-x))`+C_(2)*(e^(4x))`=
=C_(1)*e^(-x)*(-x)`+C_(2)*e^(4x)*(4x)`=
=C_(1)*e^(-x)*(-1)+C_(2)*e^(4x)*(4)=
=-C_(1)*e^(-x)+4*C_(2)*e^(4x)
[b]-2=-C_(1)+4*C_(2)[/b]
Решаем систему:
{[b]1=C_(1)+C_(2) [/b]
{[b]-2=-C_(1)+4*C_(2)[/b]
Cкладываем:
-1=5С_(2)
С_(2)=-1/5=-0,2
С_(1)=1-С_(2)=1-(-0,2)=1,2
О т в е т. y=1,2e^(-1*x)-0,2*e^(4*x) - решение задачи Коши.
Это кривая, которая проходит через точку (0;1) и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный (-2)