Задача 21828 Провести исследование и построить график...

vk340246274

27 декабря 2017 г.

Провести исследование и построить график y=x⁴–2x²+3

SOVA

28 декабря 2017 г.

★

1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет

2) Функция является четной.
у(–х)=(–х)⁴–2·(–x)²+3=x⁴–2x²+3
y(–x)=y(x)

3)lim_{x→ +∞})f(x)=+∞
lim_x→–∞f(x)=+∞.

Горизонтальных асимптот нет

Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_x→∞(x⁴–2x²+3)/x=+∞

4) f(x)=0
x⁴–2x²+3=0
D=4–4·3 < 0
Точек пересечения с осью Ох нет.

При х=0 у=3
(0;3) – точка пересечения с осью Оу.

5)
y`=4x<sup>3</sup>–4x;
y`=0
4x³–4x=0
4x·(x²–1)=0
x=0 или x²–1=0 ⇒х=±1

Знак производной
_–__ (–1) ___+___ (0) __–__ (1 ) __+__


x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

x=–1 и х=1 – точки минимума, производная меняет знак с – на +


Функция убывает при x∈ (–∞;–1) и x∈ (0;1)
возрастает при x∈ (–1;0) и (1;+∞)


7)y``=(4x<sup>3</sup>–4x)`=12x<sup>2</sup>–4
y``=0
12x²–4=0
x= ± √1/3 –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .

Функция выпукла вниз на (– ∞ ;–√1/3) и на (√1/3;+ ∞ )
выпукла вверх на (–√1/3;√1/3)