Задача 37820 Найти расстояние от точки P(3;-1;2) до...
Условие
{2x-y+z-4=0
x+y-z+1=0
Решение
{2x–y+z-4=0
{x+y-z+1=0
Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.
Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0
Тогда системa принимает вид:
{2x+z-4=0
{x-z+1=0
Cкладываем
3х-3=0
х=1
z=2
[b]A(1;0;2)[/b]
Пусть третья координата точки, принадлежащей линии пересечения z=0
Тогда система принимает вид:
{2x–y-4=0
{x+y+1=0
Складываем
3х-3=0
х=1
y=-2
[b]B(1; -2; 0)[/b]
Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки
[b]A(1;0;2)[/b] и [b]B(1; -2; 0)[/b]]
(x-1)/1-1=(y-0)/(-2-0)=(z-2)/(0-2)
[b]x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)[/b] - каноническое уравнение
прямой
Направляющий вектор прямой vector{s}=(0;-2;-2)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку P перпендикулярно данной прямой. В таком случае vector{s}=(0;-2;-2)
- нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости через точку (x_(o);y_(o);z_(o)) и направляющим вектором vector{n}=(A;B;C)
имеет вид:
A*(x-x_(o)) + B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0
0*(x-3)-2*(y+1)-2*(z-2)=0
-2y-2-2z+4=0
-2y-2z+2=0
y+z - 1=0
Найдем координаты точки пересечения прямой [b]x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)[/b] и плоскости 2x+2y+1=0
Запишем параметрические уравнения прямой
x-1/0 =y/(-2) =(z-2)/(-2)=t
{x=1
y=-2t
z=-2t+2
и подставим в уравнение
y+z-1=0
(-2t)+(-2t+2)-1=0
t=1/4
x=1; y=-1/2
z=3/2
K (1;-1/2;3/2)
KP=sqrt((3-1)^2+(-1+1/2)^2+(2-(3/2))^2)=sqrt(9/2)=3sqrt(2)/2 - расстояние от точки Р до прямой
