Задача 29536 ...

slava191

9 сентября 2018 г. в 12:24

Трапеция ABCD с основаниями ВС = а и AD = b вписана в окружность. Найдите радиус окружности, если ∠ CAD = α . [9.41]

sova

9 сентября 2018 г. в 21:47

★

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.
Дуги АВ и СD, заключенные между параллельными хордами ВС и AD равны. Значит и хорды AB и CD равны.

Проводим высоту СК
KD=(b–a)/2
AK=b–(b–a)/2=(a+b)/2

H( трапеции) =СK=AK·cos α = (a+b)cos α /2

Окружность описана не только около трапеции, но и около треугольника ACD.

Поэтому для нахождения радиуса применим формулу

R= AC·CD·AD/4S(Δ ACD)


S ( Δ ACD)=(1/2)AD·CK= (1/2)·b· (a+b)cos α /2=b·(a+b)·cos α /4.

AC²=AK²+CK²=((a+b)/2)²+((a+b)·(cos α)/2)²

AC=(a+b)√1+cos²α/2

CD²=CK²+KD²=((a+b)·(cos α)/2)²+ ((b–a)/2)²=

=(a²+b²)·(1+cos² α )/4

CD=√(a²+b²)·(1+cos² α )/2

R=((1/cosα)+cosα)·√a²+b²