Задача 10832 В правильной треугольной призме...

slava191

25.10.2016

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1

а) Постройте угол между прямой АС1 и плоскостью ВСС1.
б) Найдите косинус этого угла.

SOVA

25.10.2016

★

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.Проведем АН ⊥ ВС.
Так как треугольник АВС -равносторонний, то АН -высота и медиана треугольника АВС.
НН_(1) ⊥ АВС ( призма правильная, значит боковые ребра перпендикулярны пл. основания, НН_(1) || BB_(1)).
Значит AH, перпендикулярная двум пересекающимся прямым ВС и НН1 плоскости ВВ1С1С, перпендикулярна пл.ВВ1С1С ⇒
АН⊥ пл. ВВ1С1С
Тогда отрезок С1Н - проекция прямой АС1 на эту плоскость и искомый угол - угол АС1Н.
сos(∠AC1H)= С1Н/АС1.
По теореме Пифагора диагональ боковой граний АС1=√2 и из прямоугольного треугольника С1СН (СС1=1,СН=1/2)по теореме Пифагора С1Н=√5/2
сos(∠AC1H)=(√5/2)/√2 = √10/4.
Ответ:сos(∠AC1H)=√10/4.