Задача 41734 Определить уравнение плоскости,...

qwertyu

2019-11-20 12:16:02

Определить уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и составляющей с плоскостью x+sqrt(6)y-z-3 = 0 угол 60 °.

sova

2019-11-20 13:02:32

★

Искомая плоскость проходит через oсь Oy, значит проходит через начало координат.
Пусть уравнение искомой плоскости

[red]Ax+By+Cz=0[/red]

У плоскости x+sqrt(6)y-z-3=0 нормальный вектор vector{n_(1)}=(1;sqrt(6);-1)

У плоскости Ax+By+Cz=0 нормальный вектор vector{n_(2)}=(A;B;C)

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами
По формуле:
cos( ∠ (vector{n_(1)}, vector{n_(2)}))=(vector{n_(1)}* vector{n_(2)})/|vector{n_(1)}|*| vector{n_(2)}|

Так как по условию угол между плоскостями равен 60 градусов
значит
cos 60 градусов =1/2


1/2 =(vector{n_(1)}* vector{n_(2)})/|vector{n_(1)}|*| vector{n_(2)}|

2*vector{n_(1)}* vector{n_(2)}=|vector{n_(1)}|*| vector{n_(2)}|

где vector{n_(1)}* vector{n_(2)} - скалярное произведение.

2*(A-sqrt(6)*B-C)=sqrt(1^2+(-sqrt(6))^2+(-1)^2)*sqrt(A^2+B^2+C^2)


Ось Оу содержит направляющий вектор vector{j}=(0;1:0)

Значит, искомая плоскость проходит через точку (0;1:0)

A*0+B*1+C*0=0

Из двух уравнений относительно А, В, С и D находим

коэффициенты:

{B=0
{2A-2C=sqrt(8)*sqrt(A^2+C^2) ⇒

A- C=sqrt(2)*sqrt(A^2+C^2)

Возводим в квадрат

A^2-2A*C+C^2=2A^2+2C^2 ⇒ A^2+2AC+C^2=0
A=-C

О т в е т. Ax+0*y-Az=0 ⇒ [b] x-y=0[/b]