Задача 51998 Задание на картинке...

vk151256823

31 мая 2020 г. в 22:29

Задание на картинке

sova

1 июня 2020 г. в 15:18

★

1
a)sinycosx dy =sinxcosy dx – уравнение с разделяющимися переменными

[m]\frac{siny}{cosy}dy=\frac{sinx}{cosx}dx[/m]

Интегрируем:

[m] ∫ \frac{siny}{cosy}dy= ∫ \frac{sinx}{cosx}dx[/m]

[m] - ∫ \frac{d(cosy)}{cosy}=- ∫ \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

[m] ∫ \frac{d(cosy)}{cosy}= ∫ \frac{d(cosx)}{cosx}[/m]

формула ∫ du/u=ln|u|

ln|cosy|=ln|cosx)+lnC ⇒

cosy=C·cosx– общее решение
–––––––––––––

б) Делим обе части уравнения на х:

y`–(y/x)=tg(y/x) (#)

Это однородное уравнение первой степени.

Замена :

y/x=u

y=x·u

y`=x`·u+x·u` ( x`=1, так как x – независимая переменная)

y`=u+x·u`
Подставляем в (#)

u+x·u`–u=tgu

x·u`=tgu – уравнение с разделяющимися переменными:

u`=du/dx

x·(du/dx)=tgu ⇒ du/tgu=dx/x ⇒ ∫ du/tgu= ∫ dx/x ⇒ ln|u|=ln|x|+lnC ⇒

u=Cx– общее решение.

–––––––––––––––––

в)
Составляем характеристическое уравнение
k²+k–6=0
D=1+24=25
k₁=–3; k₂=2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
( см таблицу в приложении 1)

у=C₁e^–3x+C₂e^2x

––––––––––––––––––––––––––––––––––

г)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k²+1=0

k₁=–i; k₂=i – корни комплексные

поэтому общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид ( cм таблицу приложение 1, третья строка)

y_{общее одн}=C₁cosx+C₂sinx – общее решение однородного уравнения

Правая часть неоднородного уравнения f(x)=2cosx–(4x+4)sinx

имеет так называемый ''специальный'' вид, поэтому частное решение

находим в виде

y_част(x)=((Aх+В)cosx+(Mx+N)sinx)·x

( cм. таблицу приложения 2, пункт 5 :
0+i=k₂– корень характеристического уравнения кратности 1, поэтому умножаем на x⁽¹⁾ )


y_част(x)=(Aх²+Вx)cosx+(Mx²+Nx)sinx

Находим

y`<sub>част</sub>=(Aх<sup>2</sup>+Вx)`·cosx+(Aх²+Вx)(cosx)`+(Mx<sup>2</sup>+Nx)`·sinx+(Mx²+Nx)·(sinx)`

y`_част=(2Ax+B+Mx²+Nx)·cosx+(2Mx+N–Ax²–Bx)·sinx



y``_част=(2A+2Mx+N)·cosx–(2Ax+B+Mx²+Nx)·sinx+

+(2M–2Ax–B)·sinx+(2Mx+N–Ax²–Bx)·cosx

y``_част=(2A+4Mx+2N–Ax²–Bx)·cosx+(2M–4Ax–2B–Mx²–Nx)·sinx


подставляем в данное уравнение, находим А, В, M, N

(2A+4Mx+2N–Ax²–Bx)·cosx+(2M–4Ax–2B–Mx²–Nx)·sinx+(Aх²+Вx)cosx+(Mx²+Nx)sinx=2cosx–(4x+4)sinx

(2A+4Mx+2N)·cosx+(2M–4Ax–2B)·sinx=2cosx–(4x+4)sinx

2А+4Mx+2N=2 ⇒ M=0 и 2А+2N=2
2M–4Ax–2B=–4x–4 ⇒ –4A=–4 ⇒ A=1 и 2M–2B=–4

M=0
A=1
N=0
B=2

y_част(x)=х²cosx


y_{общее неодн}=у_{общее одн}+у_част=

=C₁cosx+C₂sinx+х²cosx