Задача 23112 йдите все значения параметра а при...

vk186312129

31.01.2018

йдите все значения параметра а при которых неравенство выполняется для всех x
13+(sinx)^2 > 3a^2-a+(4a-5)cosx

SOVA

31.01.2018

★

Так как sin^2x=1-cos^2x,
13+(1-cos^2x) > 3a^2–a+(4a–5)cosx;
cos^2x+(4a-5)cosx+3a^2-a-14 < 0 - квадратное неравенство относительно cosx.
Замена
cosx=t,
-1 меньше или равно t меньше или равно 1
Переформулируем задачу.
При каких значениях параметра a
t^2+(4a-5)t+3a^2-a-14 < 0
имеет решения
для любого t ∈ (- бесконечность ;1)U(1;+ бесконечность )

Необходимое и достаточное условие этого требования (см. тему: расположение квадратного трехчлена относительно его корней) определяется системой неравенств


{D > 0
{f(-1) < 0, где ( f(t)=t^2+(4a-5)t+3a^2-a-14 )
{f(1) < 1
{-1 меньше или равно t_(o) меньше или равно 1
t_(o) - абсцисса вершины параболы
f(t)=t^2+(4a-5)t+3a^2-a-14

Решение системы:
{(4a-5)^2-4*(3a^2-a-14) > 0
{1-4а+5+3a^2-a-14 < 0
{1+4a-5++3a^2-a-14 < 0
{-1 меньше или равно (4а-5)/2 меньше или равно 1
определяет ответ.