Задача 29128 8. Двумерная случайная величина задана...
Условие
Решение
f_(1)(x)= ∫ ^(+∞)_(-∞)f(x;y)dy=
=(3sqrt(3)/Pi)* ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-4x^2-6xy-9y^2)dy
Вынесем за знак интеграла множитель e^(-4x^2) , не зависящий от переменной интегрирования y, и [b]дополним[/b] оставшийся показатель степени
(-6xy-9y^2)
до полного квадрата
(-9y^2-6xy-x^2)+x^2 и значит вынесем ещё и e^(x^2) за знак интеграла, тогда:
(3sqrt(3)/Pi)*e^(-4x^2)*e^(x^2) ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(x+3y)^2)dy=
=(3sqrt(3)/Pi)*e^(-3x^2)*(1/3)∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(x+3y)^2)d(x+3y)
Учитывая, что интеграл Пуассона
∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-t^2)dt=sqrt(Pi),
получим плотность распределения составляющей X:
[b]f_(1)(x)=(sqrt(3)/sqrt(Pi))*e^(-3x^2)[/b]
Найдем плотность распределения составляющей Y:
f_(2)(y)= ∫ ^(+∞)_(-∞)f(x;y)dy=
=(3sqrt(3)/Pi)* ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-4x^2-6xy-9y^2)dx
Вынесем за знак интеграла множитель e^(-9y^2) , не зависящий от переменной интегрирования x, и [b] дополним [/b] оставшийся показатель степени (-4x^2-6xy)
до полного квадрата
(-4x^2-6xy-(9/4)y^2) +(9y^2/4) и стало быть вынесем ещё и e^(9y^2/4) за знак интеграла, тогда:
(3sqrt(3)/Pi)*e^(-9y^2)*e^(9y^2/4) ∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(2x+(3y/2))^2)dy=
=(3sqrt(3)/Pi)*e^(-27x^2/4)*(1/2)∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-(2x+(3y/2))^2)d(2x+(3y/2))
Учитывая, что интеграл Пуассона
∫ ^(+∞)_(-∞)e^(-t^2)dt=sqrt(Pi),
получим плотность распределения составляющей Y:
[b]f_(2)(y)=(3sqrt(3)/(2sqrt(Pi)))*e^(-27y^2/4)[/b]
phi (x|_(y))=f(x;y)/f_(2)(y)=
=(3sqrt(3)/Pi)*(2sqrt(Pi)/3sqrt(3))*e^(-4x^2-6xy-9y^2+(27y^2/4))=
=[b](2/sqrt(Pi))*e^(-(2x+(3y/2))^2)[/b]
ψ (y|_(x))=f(x;y)/f_(1)(x)=
=(3sqrt(3)/Pi)*(sqrt(Pi)/sqrt(3))*e^(-4x^2-6xy-9y^2+3x^2)=
=[b](3/sqrt(Pi))*e^(-(x+3y)^2)[/b]
О т в е т.
phi (x|_(y))=(2/sqrt(Pi))*e^(-(2x+(3y/2))^2)
ψ (y|_(x))=(3/sqrt(Pi))*e^(-(x+3y)^2)