Задача 34968 ...

sova

2019-03-26 21:51:13

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
5k^2+2k+2=0
D=-36

k_(1)=(-2-6i)/10 k_(2)=(-2+6i)/10- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(-0,2x)С_(1)*sin0,6x+C_(2)*cos0,6x

Правая часть
f(x)=sinx*sin5x
так как
sinx*sin5x=(1/2)sin6x+(1/2)sin(-4x)
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)

f_(1)(x)=(1/2)sin6x
f_(2)(x)=(-1/2)sin4x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=(1/2)sin6x

y_(част 1) =Asin6x+Bcos6x

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част1)=6Acos6x-6Bsin6x

y``_(част)= -36Asin6x-36Bcos6x

подставляем в данное уравнение:

5*( -36Asin6x-36Bcos6x)+2*(6Acos6x-6Bsin6x)+2*Asin6x+2Bcos6x=(1/2)sin6x

Находим А и В


y_(част 2) =Msin4x+Ncos4x

y`_(част 2) =4Mcos4x-4Nsin4x

y``_(част 2) = -16Msin4x-16Ncos6x


5*( -16Msin4x-16Ncos4x)+2*(4Mcos4x-4Nsin4x)+2*Msin4x+2Ncos4x=-(1/2)sin4x

Находим M и N
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =