Задача 42941 Составить уравнение плоскости,...

digraaa

2019-12-20 15:20:04

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(3,4,0) и прямую

(x-2)/1 = (y-3)/2 = (z+1)/2

sova

2019-12-20 17:46:37

★

Каноническое уравнение прямой

(x-2)/1=(y-3)/2=(z+1)/2
это уравнение прямой, проходящей через точку
M_(o)(2;3;-1)
с направляющим вектором vector{s}=(1;2;2)

Пусть M (x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы vector{M_(o)M};vector{AM_(o)}; vector{s} компланарны.
vector{M_(o)M}=(x-2;y-3;z-(-1)=(x-2;y-3;z+1)
vector{AM_(o)}=(2-3;3-4;-1-0)=(-1;-1;-1)

Условие компланарности трех векторов - равенство нулю их смешанного произведения

Смешанное произведение векторов - определитель третьего порядка составленный из координат этих векторов

Искомое уравнение плоскости получим из равенства:

[m]\begin{vmatrix} x-2 & y-3 & z+1\\ -1 & -1 &-1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель:
0*(x-2)+3(y-3)-3(z+1)=0

[b]y-z-4=0[/b]

О т в е т. y-z-4=0