Задача 42941 Составить уравнение плоскости,...

digraaa

20 декабря 2019 г. в 15:20

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(3,4,0) и прямую

(x–2)/1 = (y–3)/2 = (z+1)/2

sova

20 декабря 2019 г. в 17:46

★

Каноническое уравнение прямой

(x–2)/1=(y–3)/2=(z+1)/2
это уравнение прямой, проходящей через точку
M_o(2;3;–1)
с направляющим вектором s=(1;2;2)

Пусть M (x;y;z) – произвольная точка искомой плоскости.

Тогда векторы M_oM;AM_o; s компланарны.
M_oM=(x–2;y–3;z–(–1)=(x–2;y–3;z+1)
AM_o=(2–3;3–4;–1–0)=(–1;–1;–1)

Условие компланарности трех векторов – равенство нулю их смешанного произведения

Смешанное произведение векторов – определитель третьего порядка составленный из координат этих векторов

Искомое уравнение плоскости получим из равенства:

[m]\begin{vmatrix} x-2 & y-3 & z+1\\ -1 & -1 &-1 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель:
0·(x–2)+3(y–3)–3(z+1)=0

y–z–4=0

О т в е т. y–z–4=0