Задача 43373 В задачах требуется найти точки разрыва...
Условие
6.51,6.53,6.55,6.58,6.59
Решение
х=0 не входит в область определения функции
Значит во всех остальных точках функция непрерывна, как частное непрерывных функций : 1 и x
x=0 - точка разрыва второго рода, так как
lim_(x → +0)(1/х)=[b](1/(+0))[/b]=+ ∞
( см. второй столбик приложения. Один или оба односторонних предела равны ∞ )
то, что жирным шрифтом не пишем, считаем 1 делим на очень маленькое положительное число +0
это 0, 00000000000001
получим очень большое положительное
100000000000000
6.51
х=-1 не входит в область определения функции
Значит во всех остальных точках функция непрерывна, как частное непрерывных функций : x и x+1
x=-1 - точка разрыва второго рода, так как
lim_(x → -1+0)(х)/(х+1)=[b]((-1+0)/(-1+0+1))=(-1/(+0)=[/b]- ∞
( см. второй столбик приложения. Один или оба односторонних предела равны ∞ )
6.55
x= ± 1 не входит в область определения функции
x=1 - точка разрыва второго рода, так как
lim_(x → 1+0)(х+1)/(x^2-1)=[b]((1+0+1)/((1+0)^2-1))=(2/+0)[/b]=+ ∞
x=-1 - точка устранимого разрыва.
lim_(x → - 1)(x+1)/(x^2-1)=lim_(x → - 1)1/(x-1)=1/(-2)=-0,5
Предел есть, но функция не определена в этой точке
6.58
На [0;1) функция задана формулой y=2x и потому функция непрерывна
На (1;2]функция задана формулой y=2x и потому функция непрерывна
Значит надо исследовать функцию в точке x=1
Находим предел слева
lim_(x → 1-0) 2x= [b]2*(1-0)[/b]=2
Находим предел справа
lim_(x → 1+0)( 2 - x) = [b]2- (1+0)[/b]=1
Предел слева не равен пределу справа ⇒
функция не имеет предела в точке.
Оба пределы конечные, значит х=1 - точка разрыва первого рода
6.59
Так же
надо исследовать функцию в точке x=2
Находим предел слева
lim_(x → 2-0) x^2= [b](2-0)^2[/b][b]=4[/b]
Находим предел справа
lim_(x → 2+0) (20-8x) = [b]20 - 8*(2+0)[/b][b]=4[/b]
Предел слева не равен пределу справа ⇒
функция имеет предел в точке x=2
Значение функции в точке х=2 равно 2^2=4
Функция непрерывна в точке x=2
Не имеет точек разрыва на [0;3]