Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 13100 Даны парабола y=4*x^2 и прямая y=x-0,5...

Условие

Даны парабола y=4*x^2 и прямая y=x-0,5 Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?

математика 10-11 класс 1633

Решение

Cм. рисунок.
Пусть точки А(х_(А);у_(А)) и В(х_(В);у_(В)) лежат на параболе, а точки С и D на прямой у=х–0,5.
Противоположные стороны квадрата параллельны.Значит,
точки А и В лежат на прямой АВ, параллельной прямой у=х–0,5.
Пусть это прямая у=х+m.
Значит, у_(А)=х_(А)+m; y_(B)=x_(B)+m
Расстояние между точками А и В
d^2=(x_(B)–x_(A))^2+(y_(B)–y_(A))^2=
= (x_(B)–x_(A))^2+(x_(B)–m–y_(A)+m)^2=
=2• (x_(B)–x_(A))^2.
Рассмотрим прямоугольный треугольник РКЕ, PK⊥CD.
Р–точка пересечения прямой у=х+m c осью ОУ.
Р(0;m)
Е– точка пересечения прямой у=х–0,5 с осью ОУ.
Е(0;–0,5)
РЕ=m+0,5
Прямые у=х+m и у=х–0,5 образуют с осью Ох угол 45°, а значит и с осью Оу угол 45°.
РК=ВС=d=(m+0,5)•sin45°=(m+0,5)/√2.
d^2=(m+0,5)^2/2.
Все стороны квадрата равны.
АВ=ВС, но ВС=РК, значит
AB=PK. Получаем уравнение
(m+0,5)^2/2=2•(x_(B)–x_(A))^2.

Так как точки А и В лежат на параболе, то
у_(А)=4х^2_(А); у_(В)=4х^2_(В)
и на прямой, то
m=4х^2_(B)–x_(B)=4х^2_(А)–х_(А) или
4х^2_(B)–x_(B)=4х^2_(А)–х_(А)
4х^2_(B)-4х^2_(А)=x_(B)–х_(А)
(x_(B)–х_(А))*(4x_(B)+4x_(A)-1)=0
Откуда х_(А)+х_(В)=0,25
–––––––––––––
Подставим х_(В)=0,25-х_(А)
в уравнение:
(m+0,5)^2/2=2•(x_(B)–x_(A))^2.
Получаем
4•(2х_(В)–0,25)^2=(4x^2_(B)–x_(B)+0,5)^2
Упрощаем

16x^4_(B)-8x^3_(B)-11x^2_(B)+3x_(B)=0;
x_(B)*(x_(B)+1)*(4x_(B)-1)^2=0;
Наибольшее значение d при
х_(В)=-1
х_(А)=1,25
d^2=2*(x_(B)-x_(A))^2=2*(-2,25)^2=10,125
S=d^2=10,125=81/8

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК