Задача 12714 ...

myra

06.01.2017

Пусть (21-16sin^2x+8cosx)/(16cos^2x-29-8√15*sinx)=2. Какое наибольшее значение может принимать 7cosx?
(под корнем только корень из 15)

SOVA

06.01.2017

★

(21-16sin^2x+8cosx)/(16cos^2x-29-8sqrt(15)sinx)=2.

Так как
cos^2x=1–sin^2x, а sin^2x=1–cos^2x,
перепишем равенство в виде

(16cos^2x+8cosx+5)/(-16sin^2x-8sqrt(15)sinx-13)=2.
Замена переменной
u=sinx
v=cosx
Тогда
{u^2+v^2=1
{(16v^2+8v+5)/(-16u^2-8sqrt(15)u-13)=2.
или
{u^2+v^2=1
{16u^2+8sqrt(15u)+13≠0
{16v^2+8v+5)+2*(16u^2+8sqrt(15)u+13)=0

Упростим третье уравнение, выделив полный квадрат:
(4v+1)^2+2*(4u+sqrt(15))=0

Сумма двух положительных чисел равна 0 тогда и только тогда когда каждое 0:
u=-sqrt(15)/4; v=–1/4.
Проверяем выполнение двух других условий системы:
u^2+v^2=1- верно, так как (-sqrt(15)/4)^2+(-1/4)^2=1.
и
16u^2+8sqrt(15)u+13≠0- верно,
так как 16*(15/16)+8sqrt(15)*(-sqrt(15)/4)+13=2≠0
v=cosx=-1/4;
7cosx=7*(-1/4)=-7/4=-1,75.
О т в е т. 7cosx=-1,75.