Задача 52834 Найти необходимое и достаточное условие...

vk358128505

2020-07-08 14:57:05

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой Ах+By+C=0 и гиперболы x^2/а^2 - y^2/а^2 = 1, если данная прямая не параллельна асимптомам гиперболы.

sova

2020-07-08 19:27:55

Решаем систему способом подстановки:

{Ах+By+C=0 ⇒ y=-(A/B)x-C/A
{x^2-y^2=a^2

{y=-(A/B)x-C/A
{x^2-(-(A/B)x-C/A)^2=a^2 ⇒ (A^2+B^2)x^2+2ACx+C^2-a^2B^2=0

A^2+B^2 ≠ 0, тогда уравнение квадратное.

Квадратное уравнение имеет одно решение ⇔ D=0

D=(2AC)^2-4*(A^2+B^2)*(C^2-a^2B^2)=0 ⇒

[b]a^2(A^2+B^2)=C^2[/b] при A^2+B^2 ≠ 0