Задача 38500 ...

vk288952222

4 июля 2019 г. в 17:12

Решить неравенство

log₂(x–1)(x²+2) ≤ 1+log₂(x²+3x–4) – log₂x

sova

4 июля 2019 г. в 17:24

★

ОДЗ:
{(x–1)(x²+2) >0, так как x²+2>0 ⇒ x–1 >0 ⇒ x>1
{x²+3x–4>0 ⇒ D=9+16=25; корни –4 и 1 ⇒ x < –4 или x > 1
{x>0
ОДЗ: х ∈ (1;+ ∞ )

1=log₂2

Перепишем уравнение:

log₂(x–1)(x²+2)+log₂x ≤ log₂2+log₂(x²+3x–4)

Применяем свойства логарифмов.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

log₂(x–1)·(x²+2)·x ≤ log₂2·(x²+3x–4)

Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x–1)·(x²+2)·x –2·(x²+3x–4) ≤ 0

(x–1)·(x²+2)·x –2·(x–1)(x+4) ≤ 0

(x–1)·(x³+2x–2x–8) ≤ 0

(x–1)·(x³–8) ≤ 0

При x ∈ ОДЗ
x–1 >0

x³ – 8 ≤ 0 ⇒ х ≤ 2

О т в е т. С учетом ОДЗ (1;2]