Задача 38500 ...

vk288952222

2019-07-04 17:12:40

Решить неравенство

log2(x-1)(x^2+2) ≤ 1+log2(x^2+3x-4) - log2x

sova

2019-07-04 17:24:54

★

ОДЗ:
{(x-1)(x^2+2) >0, так как x^2+2>0 ⇒ x-1 >0 ⇒ x>1
{x^2+3x-4>0 ⇒ D=9+16=25; корни -4 и 1 ⇒ x < -4 или x > 1
{x>0
ОДЗ: [b]х ∈ (1;+ ∞ )[/b]

1=log_(2)2

Перепишем уравнение:

[b]log_(2)(x-1)(x^2+2)+log_(2)x ≤ log_(2)2+log_(2)(x^2+3x-4)[/b]

Применяем свойства логарифмов.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения

[b]log_(2)(x-1)*(x^2+2)*x ≤ log_(2)2*(x^2+3x-4)[/b]

Логарифмическая функция с основанием 2>1 возрастающая.
Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(x-1)*(x^2+2)*x -2*(x^2+3x-4) ≤ 0

(x-1)*(x^2+2)*x -2*(x-1)(x+4) ≤ 0

(x-1)*(x^3+2x-2x-8) ≤ 0

(x-1)*(x^3-8) ≤ 0

При x ∈ ОДЗ
x-1 >0

x^3 - 8 ≤ 0 ⇒ х ≤ 2

О т в е т. С учетом ОДЗ (1;2]