Задача 21164 В правильной четырехугольной пирамиде...

slava191

16 декабря 2017 г.

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равняется 4 и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём пирамиды.

SOVA

16 декабря 2017 г.

★

В основании пирамиды – квадрат.
Высота проектируется в центр квадрата– точку О.
Точка О – точка пересечения диагоналей.
АО=ОВ=ОС=ОD.
Равные проекции имеют равные наклонные.
Все ребра пирамиды равны. Угол между боковым ребром и плоскостью основания – это угол между боковым ребром и его проекцией на основание.
Из прямоугольного треугольника SCO с острым углом в 30 ° находим SO=2 ( катет против угла в 30 ° равен половине гипотенузы)
По теореме Пифагора
ОС=√4²–2²=√12=2√3
АС=4√3
AD=AC·sin45 °=4√3·√2/2=2√6

V(пирамиды)=(1/3)·S(основания)·Н=
=(1/3)·S(квадрата АВСD)·SO=
=(1/3)·(2√6)²·2=
=16