Задача 22030 ...
Условие
[m]\log_3 \frac{4-x}{1-x} ≤ 2-\log_9 \sqrt[5]{\sqrt{(x-1)^{10}}}[/m]
Решение
(4-х)/(1-х) больше или равно 0;
(х-4).(х-1) больше или равно 0;
ОДЗ:
x < 1 или х больше или равно 4;
Так как
2=log_(3)9
и
log_(9) ((x-1)^(10))^(1/10)=log_(3^2)|x-1|=(1/2)log_(3)|x-1|=
=log_(3)sqrt(|x-1|)
Неравенство принимает вид
log_(3)(x-4)/(x-1) меньше или равно log_(3) 9/sqrt(|x-1|).
3 > 1 логарифмическая функция возрастает, поэтому
(x-4)/(x-1) меньше или равно 9/sqrt(|x-1|)
См. графическое решение.
Гипербола у=(4-х)/(1-х) пересекается с кривой у=9/sqrt(|x-1|) в одной точке, при x < 1
Раскрываем знак модуля, чтобы найти эту точку
(4-х)/(1-х) =9/sqrt(1-x)
Возводим в квадрат
(4-х)^2/(1-x)^2=81/(1-x)
или
16-8х+х^2=81*(1-x)
x^2+72x-65=0
D=72^2-4*(-65)=5184+260=5444
x1=-72+sqrt(5444)/2=-36+sqrt(1361) < 1
х2=36+sqrt(1361) не удовл. условию х < 1
О т в е т. (-бесконечность; -36+sqrt(1361)] U[4;+ бесконечность)