Задача 11786 Найдите наименьшее значение выражения...
Условие
sqrt(106+log^2_(a)cosax+log(a)cos^(10)ax) + sqrt(58+log^2_(a)sinax-log(a)sin^6ax) + sqrt(5+log^2_(a)tgax+log(a)tg^2ax)
и все пары (a, x), при которых оно достигается.
Решение
{cosax > 0;
{sinax > 0.
Замена переменной
log_(a)cosax=v;
log_(a)sinax=u;
log_(a)tgax=log_(a)sinax-log_(a)cosax=u-v.
Преобразуем каждое подкоренное выражение
106+log^2_(a)cosax+log_(a)cos^(10)ax=
=106+log^2_(a)cosax+10log_(a)cos^(10)ax=
=v^2+10v+106=(v+5)^2+9^2
58+log^2_(a)sinax–log_(a)sin^(6)ax=
=58+log^2_(a)sinax–6log_(a)sinax=
=u^2-6u+58=(u-3)^2+7^2
5+log^2_(a)tgax+log_(a)tg^2ax=
=5+log^2_(a)tgax+2log_(a)tgax=
=(u-v+1)^2+2^2
Данное выражение принимает вид
sqrt((v+5)^2+9^2)+sqrt((u-3)^2+7^2)+sqrt((u-v+1)^2+2^2)-
каждое слагаемое можно рассматривать как длину вектора с соответствующими координатами.
Пусть
vector{b}=(v+5;9)
vector{c}=(-u+3;7)
vector{d}=(u-v+1;2)
Сумма длин векторов больше или равна длины суммы этих векторов.
vector{b}+vector{c}+vector{d}=(v+5-u+3+u-v+1;9+7+2)=
(9;18)
Так как (u-3)^2=(-u+3)^2, то теперь должно быть понятно, почему первая координата вектора c выбрана с противоположными знаками.
Равенство суммы длин векторов длине суммы возможно лишь при условии, что векторы сонаправлены.
При этом координаты пропорциональны.
Составляем пропорции:
(v+5)/(-u+3)=9/7;
(-u+3)/(u-v+1)=7/2.
Из системы уравнений
{7v+9u+8=0
{-7v+9u+1=0
Складываем
18u+9=0
u=-1/2
v=-1/2
Тогда
vector{b}=(4,5;9)
vector{c}=(3,5;7)
vector{d}=(1;2)
vector{b}+vector{c}+vector{d}=(9;18)
|vector{b}+vector{c}+vector{d}|=9sqrt(5)
log_(a)cosax=-1/2 ⇒ cosax=1/sqrt(a)
log_(a)sinax=-1/2 ⇒ sinax=1/sqrt(a)
a∈(0;1)U(1;+ бесконечность)
cos^2ax+sin^ax=2/a
1=2/a ⇒ a=2
При а=2
cos2x=1/sqrt(2) и sin2x=1/sqrt(2)
С учетом ОДЗ:
2x=(π/4)+2πk, k∈Z.
x=(π/8)+πk, k∈Z.
При (2;(π/8)+πk) k∈Z достигается наименьшее значение и оно равно 9sqrt(5)
О т в е т. 9sqrt(5) при (2;(π/8)+πk) k∈Z