Задача 14628 logx^2 (x-5)^2+log(x-5)^2 x^2 < =2...

u3796163

01.04.2017

logx^2 (x-5)^2+log(x-5)^2 x^2 < =2

SOVA

01.04.2017

★

ОДЗ:
{x^2 > 0 ⇒ x≠0
{x^2≠1 ⇒ x≠-1; x≠1
{(x-5)^2 > 0 ⇒ x≠5
{(x-5)^2≠1 ⇒ x≠4; x≠6

Замена переменной
log_(x^2) (x–5)^2=t ⇒ log_ (x–5)^2(x^2)=1/t

t+(1/t) ≤ 2 ⇒ (t^2-2t+1)/t ≤0 ⇒ (t-1)^2/t ≤0

_-__ (0) __+__ [1]_+__

t < 0 или t=1

Решаем неравенство:
1)
log_(x^2) (x–5)^2 < 0
log_(x^2) (x–5)^2 < log_(x^2) 1
Применяем метод рационализации
(x^2-1)(x-5)^2-1) < 0
(х-1)(х+1)(х-4)(х-6) < 0

_+__ (-1) _-_ (1) ____+____ (4) __-__ (6) _+__

(-1;1)U(4;6)

C учетом ОДЗ получаем ответ неравенства 1)
(-1;0)U(0;1)U(4;5)U(5;6)

Решаем уравнение
2)
log_(x^2) (x–5)^2=1
x^2=(x-5)^2
(x-x+5)*(x+x-5)=0
2x-5=0
x=5/2
x=2,5
О т в е т. (-1;0)U(0;1)U{2,5} U(4;5)U(5;6)