Задача 20889 Решите неравенство 1+log3(x^2+x-6)...
Условие
1+log3(x^2+x-6) больше или равно 1/(log(x-2)3) + 2/(log(x+3)3sqrt(3))
Решение
{x^2+x-6 > 0 ⇒ (- бесконечность;-3)U(2;+ бесконечность)
{x-2 > 0, x-2 ≠ 1 ⇒ (2;3)U(3;+ бесконечность)
{x+3 > 0; x+3 ≠ 1 ⇒ (-3;-2)U(-2;+ бесконечность )
x ∈ (2;3)U(3;+ бесконечность)
1=log_(3)3
1/log_(x-2)3=log_(3)(x-2)
1/log_(x+3)3sqrt(3)=log_(3sqrt(3)(x+3)=log_(3^(4/3))(x+3)=
=(1/(4/3))log_(3)(x+2)=(3/4)log_(3)(x+2)
Неравенство принимает вид
log_(3) 3 + log_(3) (x^2+x-6) больше или равно log_(3)(x-2)+(3/2)log_(3)(x+3)
log_(3)3*(x^2+x-6) больше или равно log_(3)(x-2)*sqrt((x+3)^3)
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому
3*(x^2+x-6) больше или равно (x-2)*sqrt((x+3)^3)
3*(x-2)*(x+3) больше или равно (x-2)*sqrt((x+3)^3)
(x-2)*(3(x+3)-sqrt((x+3)^3) больше или равно 0
Применяем метод интервалов.
Находим нули функции
у=(x-2)*(3(x+3)-sqrt((x+3)^3)
х-2=0 ⇒ х=2 не входит в ОДЗ
или
3(x+3)-sqrt((x+3)^3)=0
3(x+3)=sqrt(x+3)^3
Возводим в квадрат
9(х+3)^2=(x+3)^3
9(х+3)^2-(x+3)^3=0
(x+3)^2*(9-x-3)=0
(x+3)^2*(6-x)=0
x=-3 или х=6
-3 не принадлежит ОДЗ
Отмечаем х=6 ( сплошным кружком, на рисунке квадратные скобки, означающие принадлежность точки помежутку) на ОДЗ:
При х=10
(10-2)*(3*13-13sqrt(13)) < 0, ставим минус на (6;+ бесконечность)
далее знаки чередуем, при переходе через точку х=3 знак не меняется.
(2) __+__(3) ___+____ [6] __-__
О т в е т. (2;3) U (3;6]
Все решения
