Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 10933 Найдите наименьшее значение функции...

Условие

Найдите наименьшее значение функции e^(4x)-5e^(2x)+11 на отрезке [0; 2].

математика 10-11 класс 14170

Решение

y`=(e^(4x)-5•e^(2x)+11)`=4e^(4x)-10e^(2x)
y`=0
e^(2x)•(2e^(2x)-5)=0
2e^(2x)-5=0
e^(2x)=5/2
2x=ln(5/2)
x=(1/2)•ln(5/2)∈[0; 2]
[0]___-____((1/2)•ln(5/2))____+______[2]
(1/2)ln(5/2) сравниваем с 1
(1/2)ln(5/2) и lne
ln(5/2) и 2 ln e=lne^2
(5/2) < e^2
Значит и
(1/2)ln(5/2) < lne
y`(1)=4e^(4)-10e^(2)=2e^2(2e^4-5) > 0

x=(1/2)ln(5/2)- точка минимума, производная меняет знак с - на +.

Напомним основное логарифмическое тождество a^(log_(b)a)=b
a > 0,b > 0, a≠1

Наименьшее значение при x=(1/2)ln(5/2) или
2х=ln(5/2)
y=e^(2ln(5/2))-5e^(ln(5/2))+11=

=e^(ln(5/4)^2)-5•(5/2)+11=(25/4)-(25/2)+11=

=-(25/4)+(44/4)=19/4.
О т в е т.4,75.

Ошибки в решение (1)

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК