Задача 10933 Найдите наименьшее значение функции...

slava191

27 октября 2016 г.

Найдите наименьшее значение функции e^4x–5e^2x+11 на отрезке [0; 2].

SOVA

27 октября 2016 г.

★

y`=(e<sup>4x</sup>–5•e<sup>2x</sup>+11)`=4e^4x–10e^2x
y`=0
e<sup>2x</sup>•(2e<sup>2x</sup>–5)=0
2e<sup>2x</sup>–5=0
e<sup>2x</sup>=5/2
2x=ln(5/2)
x=(1/2)•ln(5/2)∈[0; 2]
[0]___–___<sub>(1/2)•ln(5/2)</sub>____+______[2]
(1/2)ln(5/2) сравниваем с 1
(1/2)ln(5/2) и lne
ln(5/2) и 2 ln e=lne<sup>2</sup>
(5/2) < e<sup>2</sup>
Значит и
(1/2)ln(5/2) < lne
y`(1)=4e⁴–10e²=2e²(2e⁴–5) > 0

x=(1/2)ln(5/2)– точка минимума, производная меняет знак с – на +.

Напомним основное логарифмическое тождество a^log_ba=b
a > 0,b > 0, a≠1

Наименьшее значение при x=(1/2)ln(5/2) или
2х=ln(5/2)
y=e^2ln(5/2)–5e^ln(5/2)+11=

=e^ln(5/4)2–5•(5/2)+11=(25/4)–(25/2)+11=

=–(25/4)+(44/4)=19/4.
О т в е т.4,75.