Задача 35257 Решить...

radostmalchikov

2019-04-02 18:11:18

Решить уравнения.

2log3(x-2)+log3(x^2-8x+16) = 0

log2(4^x+4) = x+log2(2^(x+1)-3)

sova

2019-04-02 18:20:40

ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x >2
{x^2-8x+16 > 0 ⇒ x ≠ 4

ОДЗ: х ∈ (2;4)U(4;+ ∞ )

Применяем свойства логарифма степени:
2log_(3)(x-2)=log_(3)(x-2)^2
и
логарифма произведения:
log_(3)(x-2)^2+log_(3)(x^2-8x+16)=log_(3)(x-2)^2*(x^2-8x+16)

Уравнение
log_(3)(x-2)^2*(x^2-8x+16)=0

по определению:
(x-2)^2*(x^2-8x+16)=3^(0)
(x-2)^2*(x-4)^2=1

(x-2)(x-4)= ± 1

(x-2)(x-4)=1 ⇒ x^2-6x+7=0 D=36-28=8

x_(1)=(6-2sqrt(2))/2=3-sqrt(2) ∉ ОДЗ
или
х_(2)= [b]3+sqrt(2[/b]) ∈ ОДЗ

(x-2)(x-4)=-1 ⇒ x^2-6x+9=0

[b]x=3 [/b] ∈ ОДЗ

О т в е т. [b]3; 3+sqrt(2).[/b]

2.
{4^(x)+4 >0 при любом х∈ (- ∞ ;+ ∞ )
{2^(x+1)-3 >0 ⇒ 2^(x)*2>3 ⇒ 2^(x)>3/2 ⇒ x>log_(2)(3/2)

ОДЗ: (log_(2)3/2;+ ∞ )

log_(2)(4^(x)+4)-log_(2)(2^(x+1)-3)=x

Применяем свойства логарифма частного:

log_(2)(4^(x)+4)/(2^(x+1)-3) = x
по определению:

(4^(x)+4)/(2^(x+1)-3)=2^(x)

умножаем обе части уравнения на 2^(x+1) - 3>0

4^(x)=(2^(x+1)-3)*2^(x)

4^(x)=2*4^(x)-3*2^(x)

4^(x)-3*2^(x)=0

2^(x)*(2^(x)-3)=0

2^(x) > 0

2^(x)-3=0

[b]x=log_(2)3[/b] ∈ ОДЗ

О т в е т. x=log_(2)3