Задача 29565 ...

slava191

2018-09-10 12:55:25

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна d и образует с двумя смежными гранями углы α и β соответственно. [10.4]

sova

2018-09-10 14:11:55

★

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Проекции на смежные грани - диагонали этих граней.

Грани AA_(1)D_(1)D и DD_(1)C_(1) C- смежные.

B_(1)D=d;

A_(1)D - проекция B_(1)D на плоскость AA_(1)D_(1)D , значит

∠A_(1)DB_(1)= α;

С_(1)D - проекция B_(1)D на плоскость DD_(1)C_(1) C , значит

∠B_(1)DC_(1)= β

A_(1)B_(1) ⊥ пл. AA_(1)D_(1)D⇒A_(1)B_(1)⊥A_(1)D

Значит, треугольник A_(1)DB_(1) – прямоугольный:

A_(1)B_(1)=d*sin α.

Аналогично,
B_(1)С_(1) ⊥ пл. DD_(1)C_(1) C ⇒B_(1)C_(1)⊥C_(1)D

Значит, треугольник B1DC_(1) – прямоугольный:

B_(1)C_(1) = d*sinβ
C_(1)D = d*cos β

3) AB=CD = A_(1)B_(1) = d sin α (как стороны прямоугольников АВСD и A_(1)B_(1)C_(1)D_(1)).

Из треугольника DCC_(1) по теореме Пифагора найдем C_(1)C:

C_(1)C^2=C_(1)D^2-CD^2= d^2cos^2β-d^2sin^2α

H( параллелепипеда)=d*sqrt(cos^2β-sin^2α)

V( параллелепипеда ABCDA1B1C1D1)=AB*BC*CC_(1)=

= (d sinα )*(d*sinβ)*d*sqrt(cos^2β-sin^2α)=

=d^3sin α *sin β *sqrt(cos^2β-sin^2α)

О т в е т. [b]d^3sin α *sin β *sqrt(cos^2β-sin^2α)[/b]