Задача 46143 ...

slava191

6 апреля 2020 г. в 12:31

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что AB = √2, ∠ABE = π/4; ∠EBD = π/6; BC = CD

а) Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника

б) Найдите площадь пятиугольника [л16]

sova

6 апреля 2020 г. в 21:16

★

a)
Δ ABD вписан в окружность.
По теореме синусов:

[m]\frac{AB}{sin\angle ADB}=2R[/m]

По условию
AB=√2
R=1

Значит,
[m]sin\angle ADB=\frac {\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒ [m]\angle ADB=45^{o}[/m]

[m]\angle ABE= \angle ADE=45^{o}[/m], как углы, опирающиеся на

одну и ту же дугу AE

∠ BDE= ∠ ADB+ ∠ ADE=45 ° +45 ° =90 °

BE– диаметр окружности.

Центр окружности О лежит на диагонали BD пятиугольника

б)

По теореме синусов для Δ BED

[m]\frac{ED}{sin30^{o}}=2[/m] ⇒ ED=1;

BE– диаметр окружности. ⇒ ВЕ=2

По теореме Пифагора

BD=√3

⇒ sin ∠ BCD=√3/2; ∠ BCD=120 °

BC=CD=1

Четырехугольник ABDE вписан в окружность.

Сумма противолежащих углов равна 180 °

⇒ ∠ BAE + ∠ BDE=180 ° ⇒ ∠ BAE =90 °

Δ BAE – прямоугольный равнобедренный, АВ=АЕ=√2


S_{пятиугольника}=S _{Δ АВЕ}+S _{Δ BDE}+S _{Δ BCD}=

=[m]\frac{1}{2}AB\cdot AE +\frac{1}{2}BD\cdot DE + \frac{1}{2}1\cdot 1\cdot sin \angle BCD=[/m]

[m]=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/m]

О т в е т. [m]1+\frac{3\sqrt{3}}{4}[/m]