Задача 29404 ...
Условие
Решение
{4x^2-1>0 ⇒ (2x-1)(2x+1)>0⇒x <-1/2 или x >1/2 ;
{x>0;
{x+(9/x)-11>0 ⇒ (x^2-11x+9)/x >0; D=121-36=85; x=(11 ± sqrt(85))/2
1/2 < (11-sqrt(85))/2; так как sqrt(85) < 11-1; 85 < 100.
Значит
ОДЗ: (1/2; (11-sqrt(85))/2) U ((11+sqrt(85))/2;+ ∞ )
Перепишем:
log_(2)(4x^2-1) ≤ log_(2)x+log_(2)(x^2-11x+9)/x
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
log_(2)(4x^2-1) ≤ log_(2)(x^2-11x+9);
x ≠ 0
Применяем свойство монотонности логарифмической функции:
4x^2-1 ≤ x^2-11x+9;
3x^2+11x-10 ≤ 0
D=121+120=241
x_(1)=(-11-sqrt(241))/6 или x_(2)=(-11+sqrt(241))/6
Решение неравенства:
((-11-sqrt(241))/6 ; (-11+sqrt(241))/6)
Сравниваем
(-11+sqrt(241))/6 и (11-sqrt(85))/2
Обычно между таким числами ставят знак "звездочка" и работают с выражениями как с равенствами.
Т.е переносят слагаемые из одной стороны в другую, умножают на положительное число, возводят положительные числа в квадрат.
Умножаем каждое выражение на 6
-11+sqrt(241) и 33 - 3sqrt(85)
Сравниваем:
sqrt(241) и 44 - 3sqrt(85)
Сравниваем квадраты этих чисел:
Возводим в квадрат:
241 и 44^2-6*44sqrt(85)+9*85
Сравниваем
256sqrt(85) и 2460
Делим на 4
64 sqrt(85) и 615
Возводим в квадрат
4096*85=348160 < 378225
Значит,
(-11+sqrt(241))/6 < (11-sqrt(85))/2
Сравниваем 1/2 и (-11+sqrt(241))/6
3 и (-11)+sqrt(241);
14 и sqrt(241)
Сравниваем квадраты положительных чисел:
196 < 241
Значит, (1/2) < (-11+sqrt(241))/6
С учетом ОДЗ получаем ответ:
(0,5; (-11+sqrt(241))/6)