Задача 12626 Известно, что если сумма каких-либо...

veron01101

28.12.2016

Известно, что если сумма каких-либо четырёх натуральных чисел делится на n, то и сумма седьмых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

SOVA

05.01.2017

★

Дано: (a+b+c+d):n
Доказать (a^7+b^7+c^7+d^7):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a^7+b^7+c^7+d^7)-(a+b+c+d)=
=(a^7-a)+(b^7-b)+(c^7-c)+(d^7-d)

Достаточно показать, что
a^7-a кратно n
a^7-a=a(a^6-1)=a*(a^3-1)*(a^3+1)=
=a*(a-1)*(a+1)*(a^2+a+1)*(a^2-a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а-1)*а*(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.
Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 7 ( см. малую теорему Ферма. a^p-a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a^7-a кратно 6*7=42
О т в е т. n=42