Задача 12626 Известно, что если сумма каких-либо...

veron01101

28 декабря 2016 г.

Известно, что если сумма каких–либо четырёх натуральных чисел делится на n, то и сумма седьмых степеней этих же чисел делится на n. Найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

SOVA

1 мая 2017 г. в 00:00

★

Дано: (a+b+c+d):n
Доказать (a⁷+b⁷+c⁷+d⁷):n

Доказательство.
Рассмотрим их разность
(a⁷+b⁷+c⁷+d⁷)–(a+b+c+d)=
=(a⁷–a)+(b⁷–b)+(c⁷–c)+(d⁷–d)

Достаточно показать, что
a⁷–a кратно n
a⁷–a=a(a⁶–1)=a·(a³–1)·(a³+1)=
=a·(a–1)·(a+1)·(a²+a+1)·(a²–a+1)

Cумма трех последовательных множителей (а–1)·а·(а+1)
кратна 6.
Одно четное и одно кратно 3.
Кроме того, можно показать, что это произведение кратно 7 ( см. малую теорему Ферма. a^p–a кратно p при любом целом а и простом p)
Значит, a⁷–a кратно 6·7=42
О т в е т. n=42