Задача 17083 2cos(x+pi/3)+4sin(x+pi/3)=5/2...
Условие
Решение
2cost+4sint=5/2
или
4сost+8sint=5
Два способа решения уравнений вида
acosx+bsinx=c
1) формулы двойного угла
4*(cos^2(t/2)-sin^2(t/2))+8*2sin(t/2)*cos(t/2) = 5*(cos^2(t/2)+sin^2(t/2))
cos^2(t/2)-16sin(t/2)*cos(t/2)+9sin^2(t/2)=0
Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
Делим на cos^2(t/2)
9tg^2(t/2)-16tg(t/2)+1=0
D=(-16)^2-4*9=256-36=220
tg(t/2)=(16-sqrt(220))/18 или tg(t/2)=(16+sqrt(220))/18
t/2=arctg((8-sqrt(55))/9)+Pik или t/2=arctg((8+sqrt(55))/9)+Pin, k и n - целые.
x+(Pi/3)=2arctg((8-sqrt(55))/9)+2Pik ⇒
х=2arctg((8-sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pik, k ∈ Z
или
x+(Pi/3)=2arctg((8+sqrt(55))/9)+2Pin ⇒
х=2arctg((8+sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pin, n ∈ Z
О т в е т. 2arctg((8-sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pik
или
=2arctg((8+sqrt(55))/9)- (Pi/3)+2Pin, k, n ∈ Z
2) метод вспомогательного угла.
Делим обе части уравнения
на sqrt(4^2+8^2)=sqrt(80)
sqrt(80)=4sqrt(5)
(1/sqrt(5)) cos(t/2) + (2/sqrt(5)) sin(t/2)=sqrt(5)/4
пусть 1/sqrt(5)=сos phi ; 2/sqrt(5)= sin phi
phi=arccos(1/sqrt(5)) или
phi=arcsin(2/sqrt(5))
cos phi cos(t/2)+sin phi sin(t/2)=sqrt(5)/4
cos((t/2)- phi)=sqrt(5)/4
(t/2)- phi= ± arccos(sqrt(5)/4)+2Pik, k ∈ Z
t/2= ± arccos(sqrt(5)/4)+phi+2Pik, k ∈ Z
t=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2phi+4Pik, k ∈ Z
x+(Pi/3)=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2phi+4Pik, k ∈ Z
x=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2phii- (Pi/3)+4Pik, k ∈ Z
x=±2 arccos(sqrt(5)/4)+2*arccos(1/sqrt(5))-(Pi/3)+4Pik, k ∈ Z
О т в е т. ±2 arccos(sqrt(5)/4)+2arccos(1/sqrt(5))-(Pi/3)+4Pik, k ∈ Z