Задача 30138 Помогите решить задание 2.61....
Условие
Решение
{x>0
{ log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+2>0⇒ D=1; корни 1 и 2⇒
log_(0,5)x <1 ИЛИ log_(0,5)x > 2
log_(0,5)x <1⇒log_(0,5)x <log_(0,5)(0,5)
Логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
⇒x > 1/2
ИЛИ
log_(0,5)x > 2⇒log_(0,5)x >log_(0,5)(0,5^2)
⇒0 < x < 1/4
ОДЗ: x∈(0;1/4) U(1/2;+ ∞)
Так как 1=log_(2)2, неравенство примет вид:
[b]log_(2)[/b](log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+2) ≤[b]log_(2)[/b]2
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x+2 ≤ 2
log^2_(0,5)x-3log_(0,5)x ≤ 0
log_(0,5)x*(log_(0,5)x-3) ≤ 0
0 ≤log_(0,5)x ≤ 3 ⇒ log_(0,5)1 ≤log_(0,5)x ≤ log_(0,5)(0,5)^3
Логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
⇒1/8 ≤ x ≤ 1
C учетом ОДЗ
о т в е т. [1/8;1/4) U(1/2;1]
b)ОДЗ:
{x>0
{ log^2_(3)x-log_(3)x+5>0 при любом х > 0, так как D =1-4*5 < 0
x∈(0;+ ∞)
Так как 1=log_(5)5, неравенство примет вид:
[b]log_(5)[/b](log^2_(3)x-log_(3)x+5) > [b]log_(5)[/b]5
Логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log^2_(3)x-log_(3)x+5 > 5
log^2_(3)x-log_(3)x > 0
log_(3)x*(log_(3)x-1) > 0
log_(3)x <0 ИЛИ log_(3)x > 1
log_(3)x <log_(3)1 ИЛИ log_(3)x >log_(3)3
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
x < 1 ИЛИ x > 3
C учетом ОДЗ:
о т в е т. (0;1)U(3;+ ∞ )
с)
ОДЗ:
{x>0
{ log^2_(2)x+2log_(2)x>0 ⇒log_(2)x*(log_(2)x+2) >0⇒
log(2)x<-2 ИЛИ log_(2)x > 0 ⇒
log(2)x<log_(2)1/4 ИЛИ log_(2)x >log_(2)1
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
0< x < 1/4 ИЛИ х > 1
x∈(0;1/4)U (1;+ ∞)
Так как 1=log_(3)3, неравенство примет вид:
[b]log_(3)[/b](log^2_(2)x+2log_(2)x) < [b]log_(3)[/b]3
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log^2_(2)x+2log_(2)x <3
log^2_(2)x+2log_(2)x - 3 < 0 D=4-4*(-3)=16; корни -3 и 1
(log_(2)x+3)*(log_(2)x-1) < 0
-3< log_(2)x <1
1/8 < log_(2)x < log_(2)2
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
1/8 < x < 2
C учетом ОДЗ получаем
о т в е т. (1/8;1/4)U(1;2 )
d)
ОДЗ:
{x>0
{ log^2_(3)x+log_(3)x>0 ⇒log_(3)x*(log_(3)x+1) >0⇒
log(3)x< -1 ИЛИ log_(3)x > 0 ⇒
log(3)x<log_(3)1/9 ИЛИ log_(3)x >log_(3)1
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
0< x < 1/9 ИЛИ х > 1
x∈(0;1/9)U (1;+ ∞)
Так как 1=log_(2)2, неравенство примет вид:
[b]log_(2)[/b](log^2_(3)x+log_(3)x) < [b]log_(2)[/b]2
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log^2_(3)x+log_(3)x <2
log^2_(3)x+log_(3)x - 2 < 0 D=1-2*(-4)=9; корни -2 и 1
(log_(3)x+2)*(log_(3)x-1) < 0
-2< log_(3)x <1
1/9 < log_(3)x < log_(3)3
Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
1/9 < x < 3
C учетом ОДЗ получаем
о т в е т. (1/9;1/3)U(1;3 )