Задача 30138 ...

lollipolli

10 октября 2018 г. в 21:31

2.61.
a) log₂(log²₀.₅ x – 3log₀.₅ x + 2) ≤ 1
b) log₅(log²₃ x – log₃ x + 5) > 1

sova

10 октября 2018 г. в 22:42

★

а) ОДЗ:
{x>0
{ log²_0,5x–3log_0,5x+2>0⇒ D=1; корни 1 и 2⇒
log_0,5x <1 ИЛИ log_0,5x > 2


log_0,5x <1⇒log_0,5x <log_0,5(0,5)
Логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
⇒x > 1/2
ИЛИ
log_0,5x > 2⇒log_0,5x >log_0,5(0,5²)
⇒0 < x < 1/4

ОДЗ: x∈(0;1/4) U(1/2;+ ∞)

Так как 1=log₂2, неравенство примет вид:
log₂(log²_0,5x–3log_0,5x+2) ≤log₂2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log²_0,5x–3log_0,5x+2 ≤ 2

log²_0,5x–3log_0,5x ≤ 0

log_0,5x·(log_0,5x–3) ≤ 0

0 ≤log_0,5x ≤ 3 ⇒ log_0,51 ≤log_0,5x ≤ log_0,5(0,5)³

Логарифмическая функция с основанием 0,5 убывает, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента
⇒1/8 ≤ x ≤ 1

C учетом ОДЗ
о т в е т. [1/8;1/4) U(1/2;1]

b)ОДЗ:
{x>0
{ log²₃x–log₃x+5>0 при любом х > 0, так как D =1–4·5 < 0


x∈(0;+ ∞)

Так как 1=log₅5, неравенство примет вид:
log₅(log²₃x–log₃x+5) > log₅5

Логарифмическая функция с основанием 5 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log²₃x–log₃x+5 > 5

log²₃x–log₃x > 0

log₃x·(log₃x–1) > 0

log₃x <0 ИЛИ log₃x > 1

log₃x <log₃1 ИЛИ log₃x >log₃3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:

x < 1 ИЛИ x > 3
C учетом ОДЗ:
о т в е т. (0;1)U(3;+ ∞ )

с)
ОДЗ:
{x>0
{ log²₂x+2log₂x>0 ⇒log₂x·(log₂x+2) >0⇒
log₂x<–2 ИЛИ log₂x > 0 ⇒
log₂x<log₂1/4 ИЛИ log₂x >log₂1

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
0< x < 1/4 ИЛИ х > 1

x∈(0;1/4)U (1;+ ∞)

Так как 1=log₃3, неравенство примет вид:
log₃(log²₂x+2log₂x) < log₃3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log²₂x+2log₂x <3

log²₂x+2log₂x – 3 < 0 D=4–4·(–3)=16; корни –3 и 1

(log₂x+3)·(log₂x–1) < 0

–3< log₂x <1

1/8 < log₂x < log₂2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
1/8 < x < 2

C учетом ОДЗ получаем
о т в е т. (1/8;1/4)U(1;2 )

d)

ОДЗ:
{x>0
{ log²₃x+log₃x>0 ⇒log₃x·(log₃x+1) >0⇒
log₃x< –1 ИЛИ log₃x > 0 ⇒
log₃x<log₃1/9 ИЛИ log₃x >log₃1

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
0< x < 1/9 ИЛИ х > 1

x∈(0;1/9)U (1;+ ∞)

Так как 1=log₂2, неравенство примет вид:
log₂(log²₃x+log₃x) < log₂2

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
log²₃x+log₃x <2

log²₃x+log₃x – 2 < 0 D=1–2·(–4)=9; корни –2 и 1

(log₃x+2)·(log₃x–1) < 0

–2< log₃x <1

1/9 < log₃x < log₃3

Логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента:
1/9 < x < 3

C учетом ОДЗ получаем
о т в е т. (1/9;1/3)U(1;3 )