Задача 44178 ...
Условие
49^(logx5) - 7^(logx5) - 2 ≥ 0
Все решения
49=7^2
49^(log_(x)5)=(7^2)^(log_(x)5)=7^(2*log_(x)5)=[b]([/b]7^(log_(x)5))^2[b])
[/b]
[i]Замена переменной:[/i]
7^(log_(x)5)=t
Так как показательная функция по любому положительному основанию принимает только положительные значения,
t > 0
Данное неравенство принимает вид:
t^2-t-2 ≥ 0
D=1-4*(-2)=9; корни (-1) и 2
__+__ [-1] ___[red]-[/red]___ [2] __+__
t ≤ -1 или t ≥ 2
с учетом при t > 0 решение неравенства t ≥ 2
Обратная замена:
7^(log_(x)5) ≥ 2
[i]Логарифмируем [/i]по основанию 7 ( 7 > 1, функция возрастает, знач неравенства не меняется):
log_(7) 7^(log_(x)5) ≥ log_(7)2
По [i]свойству[/i] логарифма степени:
log_(x)5 * log_(7) 7 ≥ log_(7)2
Так как log_(7)7=1
log_(x)5 ≥ log_(7)2
По формуле перехода к другому основанию:
[m]\frac{lg5}{lgx}\geq \frac{lg2}{lg7}[/m]
При x ∈ (0;1)
lgx <0
[m]\frac{lg5}{lgx} <0[/m]
[m\frac{lg2}{lg7}>0[/m]
отрицательное выражение не может быть больше положительного
Неравенство не имеет решений
При x ∈ (1:+ ∞ )
lgx > 0 ⇒
[m]lgx ≤ \frac{lg7\cdot lg5}{lg2}[/m]
[m]x ≤ 10^{\frac{lg7\cdot lg5}{lg2}}[/m]
x ∈ (1; [m] 10^{\frac{lg7\cdot lg5}{lg2}}[/m]]
Но возможны варианты:
[m] (10^{lg5})^{\frac{lg7}{lg2}}=5^{\frac{lg7}{lg2}}=5^{log_{2}7}[/m]
[m] (10^{lg7})^{\frac{lg5}{lg2}}=7^{\frac{lg5}{lg2}}=7^{log_{2}5}[/m]
и все варианты записи ответа будут верными
О т в е т. (1; [m]7^{log_{2}5}[/m]]
