Задача 44178 ...

vk296224358

13 февраля 2020 г. в 10:57

Алгебра:
49^log_x5 – 7^log_x5 – 2 ≥ 0

sova

13 февраля 2020 г. в 15:55

ОДЗ: x>0; x ≠ 1 ⇒ x ∈ (0;1)U(1:+ ∞ )

49=7²

49^log_x5=(7²)^log_x5=7^2·log_x5=(7^log_x5)²)


Замена переменной:

7^log_x5=t

Так как показательная функция по любому положительному основанию принимает только положительные значения,

t > 0

Данное неравенство принимает вид:

t²–t–2 ≥ 0

D=1–4·(–2)=9; корни (–1) и 2

__+__ [–1] ___–___ [2] __+__

t ≤ –1 или t ≥ 2

с учетом при t > 0 решение неравенства t ≥ 2

Обратная замена:

7^log_x5 ≥ 2

Логарифмируем по основанию 7 ( 7 > 1, функция возрастает, знач неравенства не меняется):

log₇ 7^log_x5 ≥ log₇2

По свойству логарифма степени:

log_x5 · log₇ 7 ≥ log₇2

Так как log₇7=1

log_x5 ≥ log₇2

По формуле перехода к другому основанию:

[m]\frac{lg5}{lgx}\geq \frac{lg2}{lg7}[/m]


При x ∈ (0;1)
lgx <0
[m]\frac{lg5}{lgx} <0[/m]

[m\frac{lg2}{lg7}>0[/m]

отрицательное выражение не может быть больше положительного

Неравенство не имеет решений


При x ∈ (1:+ ∞ )
lgx > 0 ⇒

[m]lgx ≤ \frac{lg7\cdot lg5}{lg2}[/m]

[m]x ≤ 10^{\frac{lg7\cdot lg5}{lg2}}[/m]

x ∈ (1; [m] 10^{\frac{lg7\cdot lg5}{lg2}}[/m]]

Но возможны варианты:

[m] (10^{lg5})^{\frac{lg7}{lg2}}=5^{\frac{lg7}{lg2}}=5^{log_{2}7}[/m]

[m] (10^{lg7})^{\frac{lg5}{lg2}}=7^{\frac{lg5}{lg2}}=7^{log_{2}5}[/m]

и все варианты записи ответа будут верными


О т в е т. (1; [m]7^{log_{2}5}[/m]]