Задача 52312 Найти общее решение диф. уравнения ...
Условие
Решение
Делим на 4x
y`+(3/(4x))y=(-e^(x)/4x)y^5
Решаем методом Бернулли.
Решение находим в виде произведения u*v
y=u*v
Находим производную
y`=u`*v+u*v`
Подставляем в данное уравнение:
u`*v+u*v`+(3/(4x))*u*v=(-e^(x)/4x)u^5*v^5
Группируем:
u`*v+u*([blue]v`+(3/(4x))*v[/blue])=(-e^(x)/(4x))u^5*v^5
Функцию v=v(x) выбираем так, чтобы:
[blue]v`+(3/(4x))*v=0[/blue]
Это уравнение с разделяющимися переменными
dv/v=-(3/4)dx/x
∫dv/v=-(3/4) ∫ dx/x
ln|v|=-(3/4)ln|x| ⇒ [b]v=x^(-3/4)[/b]
Тогда данное уравнение принимает вид:
u`*(x^(-3/4))+u*([blue]0[/blue])=(-e^(x)/(4x))u^5*(x^(-3/4))^5
Уравнение с разделяющимися переменными:
du/u^5=-e^(x)x^(-3)dx
∫u^(-5)du=- ∫e^(x)dx/(4x^4)
....
Справа интеграл можно считать приближенно разложением в ряд e^(x)