Задача 23136 9.3.153) Найти объем обелиска,...

slava191

31.01.2018

9.3.153) Найти объем обелиска, параллельные основания которого ква­драты со сторонами a и b (а > b), высота равна h.

SOVA

31.01.2018

★

Выберем систему координат с центром в одной из вершин основания обелиска, а оси Ox иOy направим вдоль сторон основания
Пусть а – длина стороны нижнего основания,
b – длина стороны нижнего основания.
Сечение рассматриваемого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Oz в точке z, представляет квадрат со сторонами параллельными сторонам оснований.
Длину стороны сечения обозначим с(z). Площадь сечения S (z) =с(z).

Из подобия
(a-b)/2 : (c-b)/2=h/(h-z)
c-b=(a-b)(h-z)/h
c=((a-b)(h-z)/h)+b=((b-a)z/h)+a
S(z)=((b-a)^2z^2/h^2)+(2(b-a)az/h)+a^2

V= ∫^(h) _(0)S(z)dz=
=(((b-a)^2/h^2)*(z^3/3)+((b-a)az^2/h)+a^2z)|^(h)_(0)=

=(h/3)*(b^2-2ab+a^2+3ab-3a^2+3a^2)=

=(h/3)(a^2+ab+b^2)/3