Задача 26922 Л6) В треугольнике ABC известно, что...

slava191

29.04.2018

Л6) В треугольнике ABC известно, что угол C =90, а медиана CM и биссектриса AL пересекаются в точке T, причём CT = CL. Найдите наибольший острый угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

SOVA

29.04.2018

★

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна радиусу описанной окружности и равна половине гипотенузы ( гипотенуза - диаметр этой окружности).
СМ=АВ=ВМ=R

Треугольники АСМ и ВСМ - равнобедренные.
Обозначим
∠ А= ∠ АСМ=альфа
∠ В= ∠ ВСМ=90 градусов - альфа

AL- бисеектриса угла А
∠ СAL= ∠ LAB=альфа/2

∠ СTL=(aльфа/2)+альфа=3альфа/2
внешний угол треугольника АТС равен сумме внутренних с ним не смежных

Треугольник СТL - равнобедренный ( СT=CL)
∠CTL= ∠CLT=3альфа/2

Cумма углов треугольника СТL равна 180 градусов.
Уравнение
(3альфа/2)+(3альфа/2)+(90 градусов - альфа)=180 градусов
2 альфа=90 градусов
альфа =45 градусов.

Треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный
∠ А= ∠ В=45 градусов
О т в е т. 45 градусов