Задача 9487 Решить неравенство...

slava191

21 июня 2016 г.

Решить неравенство (4^x–2^x+4+30)/(2^x–2) + (4^x–7·2^x+3)/(2^x–7) ≤ 2^x+1–14

SOVA

21 июня 2016 г.

★

Замена переменной
2^x=t; t>0
4^x=t²
Неравенство примет вид:
(t²–16t+30)/(t–2) + (t²–7t+3)/(t–7)≤2t–14;
Переносим слагаемое в правой части влево и приводим дроби к общему знаменателю:
(5t–20)/(t–2)(t–7)≤0
Решаем данное неравенство методом интервалов c учетом условия t>0:
Нуль числителя t=4
Нули знаменателя: t=2; t=7
Расставляем знаки:
на(0;2) знак минус; на (2;4] знак плюс; на [4;7) знак минус и на (7;+∞) знак плюс.
0<t<2 или 4≤t<7
Возвращаемся к переменной х:
2^x<2 ⇒ x < 1
или
4≤2^x<7 ⇒ 2≤ х < log₂7.
О т в е т. (–∞;1)U[2;log₂7)